Lösung zu Rakete im Gravitationsfeld: Unterschied zwischen den Versionen

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*den Impulsinhalt durch das [[kapazitives Gesetz|kapazitive Gesetz]] der [[Translationsmechanik]] ([[Impuls]]inhalt gleich [[Masse]] mal [[Geschwindigkeit]]) ausdrückt:
*den Impulsinhalt durch das [[kapazitives Gesetz|kapazitive Gesetz]] der [[Translationsmechanik]] ([[Impuls]]inhalt gleich [[Masse]] mal [[Geschwindigkeit]]) ausdrückt:


==Lösung zu Frage 1==
Die [[Impulsbilanz]] fasst die leitungsartigen Impulsströme (Kräfte), die konvektiven Impulsströme sowie die Impulsquelle (Gewichtskraft) zur Impulsänderungsrate zusammen


:<math>\sum_i F_i + \sum_i v_i I_{mi} + m g = \dot p = \dot m v + m \dot v</math>
:<math>\sum_i F_i + \sum_i v_i I_{mi} + m g = \dot p = \dot m v + m \dot v</math>
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:<math>\sum_i I_{mi} = \dot m</math>
:<math>\sum_i I_{mi} = \dot m</math>

==Lösung zu Frage 2==


Im vorliegenden Beispiel mit der [[Rakete]] gibt es keine Oberflächenkräfte und nur einen einzigen Massenstrom. Die Geschwindigkeit des ausströmenden Gases ist gleich Geschwindigkeit der Rakete (''v'') minus Relativgeschwindigkeit des ausströmenden Gases (''c''). Die Impulsbilanz nimmt deshalb eine einfachere Form an
Im vorliegenden Beispiel mit der [[Rakete]] gibt es keine Oberflächenkräfte und nur einen einzigen Massenstrom. Die Geschwindigkeit des ausströmenden Gases ist gleich Geschwindigkeit der Rakete (''v'') minus Relativgeschwindigkeit des ausströmenden Gases (''c''). Die Impulsbilanz nimmt deshalb eine einfachere Form an
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Der Impuls der Rakete nimmt ab, weil das Gravitationsfeldes Impuls absaugt und das ausströmende Gas Impuls mitnimmt.
Der Impuls der Rakete nimmt ab, weil das Gravitationsfeldes Impuls absaugt und das ausströmende Gas Impuls mitnimmt.


==Lösung zu Frage 3==
Setzt man die Massenbilanz
Setzt man die Massenbilanz


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:<math>\dot v = g - c \frac {I_m}{m}</math> = 20.6 m/s<sup>2</sup>
:<math>\dot v = g - c \frac {I_m}{m}</math> = 20.6 m/s<sup>2</sup>


Die Beschleunigung der Rakete ist trotz negativer Impulsänderungsrate positiv, weil die Rakete Masse abgibt, die mit wenig Impuls beladen ist. Mathematisch hängt die Beschleunigung wie folgt mit der Impulsänderungsrate zusammen
Die Beschleunigung der Rakete ist trotz negativer Impulsänderungsrate positiv, weil die Rakete Masse abgibt, die mit wenig Impuls beladen ist.

==Lösung zu Frage 4==
Mathematisch hängt die Beschleunigung wie folgt mit der Impulsänderungsrate zusammen


:<math>\dot v = \frac {\dot p - \dot m v}{m}</math>
:<math>\dot v = \frac {\dot p - \dot m v}{m} = \frac {\dot p}{m} - \frac {I_m}{m} v</math>


Die Beschleunigung wird erst kleiner als Null, wenn die (negative) Impulsänderunsrate betragsmässig grösser als der Betrag des Produktes aus Massenstromstärke und Geschwindigkeit der Rakete wird.
Die Beschleunigung wird kleiner als Null, sobald die (negative) Impulsänderunsrate kleiner als das Produkt aus Massenstromstärke und Geschwindigkeit der Rakete wird.


'''[[Rakete im Gravitationsfeld|Aufgabe]]'''
'''[[Rakete im Gravitationsfeld|Aufgabe]]'''

Version vom 2. April 2007, 18:55 Uhr

Die eindimensionale Impulsbilanz für offene Systeme, welche die Summe über alle leitungsartigen und konvektiven Impulsströme zusammen mit der gravitativen Impulsquelle gleich der Änderungsrate des Impulsinhaltes setzt, kann etwas konkreter formuliert werden, indem man

Lösung zu Frage 1

Die Impulsbilanz fasst die leitungsartigen Impulsströme (Kräfte), die konvektiven Impulsströme sowie die Impulsquelle (Gewichtskraft) zur Impulsänderungsrate zusammen

[math]\sum_i F_i + \sum_i v_i I_{mi} + m g = \dot p = \dot m v + m \dot v[/math]

Die allgemeine Massenbilanz besagt, dass die Summe über alle Massenstromstärken gleich der Änderungsrate der Masse ist

[math]\sum_i I_{mi} = \dot m[/math]

Lösung zu Frage 2

Im vorliegenden Beispiel mit der Rakete gibt es keine Oberflächenkräfte und nur einen einzigen Massenstrom. Die Geschwindigkeit des ausströmenden Gases ist gleich Geschwindigkeit der Rakete (v) minus Relativgeschwindigkeit des ausströmenden Gases (c). Die Impulsbilanz nimmt deshalb eine einfachere Form an

[math]m g + (v - c) I_m = \dot p = \dot m v + m \dot v[/math]

Setzt man für die Gravitationsfeldstärke - 9 N/kg ein, erhält man eine Impulsänderungsrate von

25000 kg * (-9 N/kg) + 1300 m/s * (-200 kg/s) = -485 kN

Der Impuls der Rakete nimmt ab, weil das Gravitationsfeldes Impuls absaugt und das ausströmende Gas Impuls mitnimmt.

Lösung zu Frage 3

Setzt man die Massenbilanz

[math]I_m = \dot m[/math]

in die Impulsbilanz ein, erhält man eine sehr kompakte Formel, die an das Grundgesetz der Mechanik erinnert

[math]m g - c I_m = m \dot v[/math]

Daraus lässt sich die Beschleunigung ermitteln

[math]\dot v = g - c \frac {I_m}{m}[/math] = 20.6 m/s2

Die Beschleunigung der Rakete ist trotz negativer Impulsänderungsrate positiv, weil die Rakete Masse abgibt, die mit wenig Impuls beladen ist.

Lösung zu Frage 4

Mathematisch hängt die Beschleunigung wie folgt mit der Impulsänderungsrate zusammen

[math]\dot v = \frac {\dot p - \dot m v}{m} = \frac {\dot p}{m} - \frac {I_m}{m} v[/math]

Die Beschleunigung wird kleiner als Null, sobald die (negative) Impulsänderunsrate kleiner als das Produkt aus Massenstromstärke und Geschwindigkeit der Rakete wird.

Aufgabe

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