Magnetfeld und Induktivität

Elektrische Ladungen erzeugen das elektrische Feld (Feldstärke E gemessen in V/m oder N/C), Ströme das Magnetfeld (Feldstärke B gemessen in Tesla). Wird eine Kondensator geladen, fliesst Ladung von der einen Seite zu und verdrängt ebenso viel Ladung über den andern Anschluss. Das dadurch erzeugte elektrische Feld speichert die Energie des Kondensators. Diese wächst quadratisch mit der Spannung und somit auch quadratisch mit der an einem beliebigen Punkt im Innern des Kondensators gemessenen Feldstärke.

Wickelt man einen Draht zu einer Spule, erzeugt der Strom im Innern der Spule ein starkes Magnetfeld, das durch einen Eisenkern zusätzlich verstärkt werden kann. Die Stärke des Magnetfeldes wächst linear mit der Stärke des Stromes, die in diesem Feld gespeicherte Energie nimmt quadratisch mit der Stromstärke zu.

Energiebilanz

Die Energie tritt in jedem Gebiet der Physik als Zweitgrösse auf, d.h. die Energie rapportiert als Buchhaltungsgrösse die Vorgänge auf einer zweiten Ebene. Schauen wir uns diese Buchhaltung einmal etwas genauer an.

Die Energiebilanz bezüglich eines idealen Kondensators lautet

[math]UI=P=\dot W=CU\dot U[/math]

Die letzte Umformung folgt aus der Ableitung der im elektrischen Feld gespeicherten Energie

[math]\dot W=\left(\frac{C}{2}U^2\right)^\circ=CU\dot U[/math]

Die Einheit der Kapazität, Farad, kann demnach auch als J / V² geschrieben werden.

Ladungen bauen das elektrische Feld, Ströme das Magnetfeld auf. Weil die von einem Kondensator gespeicherte Energie quadratisch mit der Ladung zunimmt, postulieren wir, dass die vom Magnetfeld einer Spule gespeicherte Energie quadratisch mit der Stärke des durchfliessenden Stromes anwächst.

[math]W=\frac{L}{2}I^2[/math]

L steht für Induktivität.Die Induktivität wird in Henry (H) gemessen (1 H = 1 J/A²). Die Division durch zwei übernehmen wir von der Kapazität.

Leitet man diese Energie-Strom-Beziehung nach der Zeit ab, folgt

[math]\dot W=\left(\frac{L}{2}I^2\right)^\circ=LI\dot I[/math]

Die Änderungsrate der Energie muss gleich der vom elektrischen Strom in der Spule freigesetzte Leistung (Spannung mal Stromstärke) sein

[math]LI\dot I=\dot W=P=UI[/math]

Vergleicht man den Term ganz links mit dem Ausdruck ganz rechts, erhält man das konstitutive Gesetz der Induktivität: die Spannung über der Spule ist gleich Induktivität mal Änderungsrate der Stromstärke

[math]U=L\dot I[/math]

Eine induktive Spannung tritt demnach nur auf, wenn der Strom seine Stärke ändert. Nimmt man eine idealen Spule, deren Drähte dem Strom keinen Widerstand entgegen setzen, entspricht die gemessene Spannung direkt der Änderungsrate des Stromes. Nimmt der Strom zu, sind Strom und Spannung gleich gerichtet. Bildlich gesprochen fliesst der Strom den Berg hinunter und setzt dabei die Energie frei, die zum Aufbau des Magnetfeldes notwendig ist. Nimmt der Betrag des Stromes ab, sind Strom und Spannung wie bei einer Batterie gegeneinander gerichtet. Der Strom muss dann die Energie übernehmen, die das schwächer werdende Magnetfeld abgibt.

drei Elemente

Unser Baukasten enthält nun drei lineare Elemente. Das eine, der Widerstand, dissipiert Energie, die beiden andern, die Kapazität und die Induktivität wirken als Energiespeicher.

	Widerstand	Kapazität	Induktivität
konstitutives Gesetz	[math]U=RI[/math]	[math]\dot U=\frac{1}{C}I[/math]	[math]U=L\dot I[/math]
Einheit	[R] = Ohm (Ω)	[C] = Farad (F)	[L] = Henry (H)
Serieschaltung	direkte Addition	reziproke Addition	direkte Addition
Parallelschaltung	reziproke Addition	direkte Addition	reziproke Addition
Energie	[math]P_{diss}=RI^2=\frac{U^2}{R}[/math]	[math]W=\frac{C}{2}U^2[/math]	[math]W=\frac{L}{2}I^2[/math]

hydroelektrische Analogie

Nun, da die drei Elemente Widerstand, Kapazität und Induktivität auch in der Elektrodynamik bekannt sind, kann die Analogie mit der Hydrodynamik nochmals rekapituliert werden

Element	Hydro	Einheit	Elektro	Einheit
Menge	Volumen	m3	elektrische Ladung	Coulomb (C)
Strom	Volumenstrom IV	m3/s	elektrischer Strom I	Ampère (A)
Potenzial	Druck p	Pascal (Pa)	elektrisches Potenzial φ	Volt (1 V = 1 J/C = 1 W/A)
Energiestrom	[math]I_W=pI_V[/math]	1 Watt = 1 Pa m3/s	[math]I_W=\varphi I[/math]	1 Watt = 1 V A
Prozessleistung	[math]P=\Delta p I_V[/math]	1 Watt = 1 Pa m3/s	[math]P=U I[/math]	1 Watt = 1 V A
Widerstand	[math]R_V=\frac{\Delta p}{I_V}[/math]	Pas / m3	[math]R=\frac{U}{I}[/math]	1 Ohm = 1 V / A (Ω)
Kapazität	[math]C_V=\frac{\Delta V}{\Delta p}[/math]	m3/Pa	[math]C=\frac{Q}{U}[/math]	1 Farad = 1 C / V (F)
Induktivität	[math]L_V=\frac{\Delta p}{\dot I_V}[/math]	Pas / m3	[math]L=\frac{U}{\dot I}[/math]	1 Henry = 1 Vs / A (H)

Aus dieser Analogie folgt die Formel für die dissipierte Leistung

[math]P=R_V I_V^2 = RI^2[/math]

die kapazitive Energie

[math]W_C=\frac{C_V}{2}(\Delta p)^2=\frac{C}{2}U^2[/math]

sowie der induktiven Energie

[math]W_L=\frac{L_V}{2}I_V^2=\frac{L}{2}I^2[/math]

Trotz der schönen Symmetrie sollte man die Unterschiede nicht vergessen

• der Volumenstrom hat mit der Bewegung eines Stoffes zu tun, bei einem elektrischen Strom ist keine Bewegung nachweisbar
  • Volumenströme koppeln über die Massenströme ans Gravitationsfeld
  • Volumenströme können turbulent werden
  • an engen Stellen tritt ein zusätzlicher Druckabfall auf
• elektrische Ströme fliessen nur in Kreisen, Volumen kann dagegen gespeichert werden

Blindwiderstand

induktiv

In einem Gedankenexperiment stellen wir uns vor, dass ein rein induktives Element an eine Steckdose angeschlossen wird. Die Steckdose erzeugt eine Wechselspannung mit einer Amplitude von 325 V

[math]U=U_0 \cos(\omega t)[/math]

Daraus ergibt sich für die Änderungsrate des elektrischen Stromes

[math]\dot I=\frac{U}{L}=\frac{U_0}{L}\cos(\omega t)[/math]

Integriert man diese Gleichung über die Zeit, erhält man für die Stammfunktion

[math]I=\frac{U_0}{\omega L}\sin(\omega t)=I_0\sin(\omega t)[/math]

Obwohl das induktive Element keinen Widerstand aufweist, wird der Strom nicht unendlich gross. Bildet man nun den Quotienten aus Spannungs- und Stromamplitude, erhält man den so genannten Blindwiderstand

[math]X_L=\omega L[/math]

Der durch die Induktivität fliessende Strom wird bei gegebener Spannung um so kleiner, je höher die Frequenz ist. Der Widerstand heisst blind, weil keine Energie dissipiert wird: im Mittel fliesst gleich viel Leistung an die Steckdose zurück wie von dort bezogen wird

[math]P=UI=U_0 I_0 cos(\omega t)sin(\omega t)=\frac{U_0 I_0}{2}sin(2\omega t)[/math]

In einer Induktivität läuft die Spannung dem Strom um eine Viertelperiode voraus. Die Spannung muss zuerst aufgebaut werden, damit der träge Strom sich in Bewegung setzt.

kapazitiv

Nun soll eine reine Kapazität an die Steckdose angeschlossen werden. Die Änderungsrate der Spannung gleich

[math]\dot U=-U_0\omega\sin(\omega t)[/math]

Daraus ergibt sich für die Stärke des elektrischen Stromes

[math]I=C\dot U=-U_0\omega C\sin(\omega t)=-I_0\sin(\omega t)[/math]

Obwohl das kapazitive Element keinen Widerstand aufweist, wird der Strom nicht unendlich gross. Bildet man nun den Quotienten aus Spannungs- und Stromamplitude, erhält man den so genannten Blindwiderstand

[math]X_C=\frac{1}{\omega C}[/math]

Der durch die Kapazität fliessende Strom wird bei gegebener Spannung um so grösser, je höher die Frequenz ist. Die Kapazität bezieht wie die Induktivität die Energie nur leihweise und schickt sie 100 mal die Sekunde ans Netz zurück.

In einer Kapazität hinkt die Spannung dem Strom um eine Viertelperiode hinter her. Der Strom muss zuerst zufliessen, bis sich in der Kapazität eine Spannung aufbaut.