Lotka-Volterra-Gleichung

Die Lotka-Volterra Gleichungen beschreiben das einfache Räuber-Beute-Modell ohne Futterbegrenzung und ohne weitere Einflüsse.

Motivation

Zur Modellierung des Räuber-Beute-Verhaltens geht man von einer Beutepopulation (nachfolgend Hasen genannt) und einer Räuberpopulation (nachfolgend Füchse genannt) aus. Die Geburtenrate der Hasen soll proportional zu ihrem momentanen Bestand H sein. Entsprechendes gilt für die Sterberate der Füchse. Die Sterberate der Hasen ist gleich der Beuterate der Füchse, die wiederum proportional zum Produkt aus der Zahl der Hasen und der Füchse sein soll. Diese Beziehung ergibt sich aus der Überlegung, dass die Wahrscheinlichkeit eines Hasenopfers proportional mit der Zahl der Hasen und der Füchse zunimmt. Weil sich die Ernährungslage der Füchse mit jedem erbeuteten Hasen verbessert, sei die Geburtenrate der Füchse ebenfalls proportional zur Beuterate. Fasst man die Überlegungen zusammen, erhält man das Lotka-Volterra-Gleichungssystem.

[math]\dot H=k_1H-k_{12}HF=H(k_1-k_{12}F)[/math]

[math]\dot F=k_{21}HF-k_2F=F(k_{21}H-k_2)[/math]

Aus der systemdynamischen Modellierung des Räuber-Beute-Modells und der nachfolgenden Darstellung der Simulation im Phasendiagramm (Hasen gegen Füchse) ersieht man, dass das System einen stationären Punkt aufweist, der von allen andern Systemzuständen umrundet wird.

Das System bleibt stabil, falls beide Änderungsraten gleich Null sind. Aus dieser Gleichung folgt für die stabile Zahl von Hasen und Füchsen

[math]H_s=\frac{k_2}{k_{21}}[/math] und [math]F_s=\frac{k_1}{k_{12}}[/math]

Potenzial

Die Zahl der Hasen und Füchse entwickelt sich ähnlich wie die beiden Koordinaten Ort und Impuls eines eindimensionalen mechanischen Systems. Zudem läuft der Zustandsvektor mit den beiden Komponenten Hase und Fuchs wie bei einem Hamilton-System um einen "Potenzialberg" herum.

Um die Funktion des Potenzialbergs zu finden, vermindern wir zuerst die Zahl der Parameter durch Division der Zahl der Hasen und Füchse mit den beiden stationären Werte. So erhalten wir ein dimensionsloses Gleichungssystem mit dem stationären Punkt bei [1,1]

[math]\dot h=k_1h(1-f)[/math]

[math]\dot f=k_2f(h-1)[/math]

Dividiert man die Hasengleichung durch die Fuchsgleichung, folgt eine zeitfreie Darstellung, die sich gut separieren lässt. Ein beidseitig Integration liefert dann

[math]k_2(h-h_0)+k_1(f-f_0)-k_2\ln\frac{h}{h_0}-k_1\ln\frac{f}{f_0}=0[/math] oder [math]k_2(h-\ln h)+k_1(f-ln f)=k_2(h_0-\ln h_0)+k_1(f_0-ln f_0)[/math] = konstant = k

Nun kann man zwei neue Variablen einführen, welche den Abstand zum stationären Punkt (Koordinaten [1,1]) messen

x = h - 1 sowie y = f - 1

und die beiden Logarithmusfunktionen bis zum quadratischen Glied entwickeln. Das Resultat erinnert an die Hamilton-Funktion des harmonischen Oszillators.

[math]k_2 (\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+...)+k_1 (\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}+...)=k-2\approx \frac{k_2x^2}{2}+\frac{k_1y^2}{2}[/math]