Harmonischer Oszillator

Aus SystemPhysik
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Objekt

Der harmonische Oszillator besteht aus einer idealen Feder mit der Richtgrösse D und einem reibungsfrei gleitenden Körper mit der Masse m. Wird der Körper in Richtung der Feder ausgelenkt und dann losgelassen, schwingt er beliebig lange hin und her. Dabei tauscht er über die Feder Impuls mit der Erde aus. Die Gesamtenergie (Federenergie und kinetische Energie des Körpers) bleibt konstant.

formale Beschreibung

Wir wählen die x-Achse des Koordinatensystems in Richtung der Feder. Der Referenzpunkt auf dem Körper falle bei der ungespannten Feder mit dem Ursprung des Koordinatensystems zusammen. Das System wird durch folgende Gleichungen beschrieben

Bilanzgleichung: [math]I_{px} = \dot p_x[/math]
kapazitives Gesetz: [math]p_x = m v_x[/math]
Federgesetz: [math]I_{px} = -Dx[/math]
Kinematik: [math]v_x = \dot x[/math]

Diese vier Gesetze können zur Zustandsgleichung für die Variablen Impuls p und Ort x

[math]\begin{matrix} \dot x \ = \ \frac {1}{m} p_x \\ \dot p_x \ = \ - D x \end{matrix}[/math]

oder zu einer Differenzialgleichung zweiter Ordnung für die Grösse x

[math]\dot \dot x + \frac {D}{m} x = 0[/math]

zusammengefasst werden.

Die allgemeine Lösung dieser Gleichung lautet

[math]x = x_0 \cos(\omega t + \varphi)[/math] mit der Kreisfrequenz [math]\omega = \sqrt {\frac{D}{m}}[/math]

Die Schwingungsdauer ist unabhängig von der Amplitude x0 und beträgt

[math]T =\frac {1}{f}=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi \sqrt{\frac{m}{D}}[/math]

Vervierfacht man die Masse, verdoppelt sich die Schwingungsdauer T; vervierfacht man die Richtgrösse, verdoppelt sich die Frequenz f der Schwingung.

Systemdynamik

Systemdiagramm des harmonischen Oszillators

Das nebenstehend skizzierte Systemdiagramm für den harmonischen Oszillator zeigt die Impulsbilanz sowie die Integration der Geschwindigkeit zum Ort als je ein Rohr-Topf- (flow-stock)-Element. Das kapazitive Gesetz liefert den Zusammenhang zwischen dem Impulsinhalt und der momentanen Geschwindigkeit. Das Federgesetz ermöglicht die Rückführung der Information über den momentanen Ort des Klotzes zur Stärke des in der Feder fliessenden Impulsstromes.

Energie

Die Prozessleistung über der Feder entspricht der Änderungsrate der Federenergie und der zugeordnete Energiestrom an der Schnittfläche Feder-Klotz ist gleich der Änderungsrate der kinetischen Energie. Da beide Energiespeicher mit einer Formel beschrieben werden können und die Summe der Energien konstant bleibt, gilt

[math]W_{tot}= W_{Feder} + W_{kin} = \frac {1}{2} D x^2 + \frac {1}{2} m v_x^2[/math]

Hamiltonmechanik

Nichtdissipative Systeme lassen sich mit einer Hamiltonfunktion in den Variablen Ort und Impuls beschreiben. Bei einfachen Systemen kann die Hamiltonfunktion mit der totalen Energie gleichgesetzt werden

[math]H(x, p_x)=\frac{D}{2}x^2+\frac{1}{2m}p_x^2[/math]

Das dynamische Verhalten des Systems lässt sich mit den folgenden Hamilton-Gleichungen beschreiben

[math]H_{,x}=-\dot p_x[/math]
[math]H_{,p_x}=\dot x[/math]

Die partiellen Ableitungen nach x und px sind mit Hilfe der Einstein-Notation formuliert worden.

Phasendiagramm des Oszillators

Der Phasenraum (x - px-Ebene) liefert eine bildhafte Darstellung der Hamilton-Mechanik. Jede geschlossene Linie (Bahn im Phasenraum) repräsentiert eine Schwingung mit einer bestimmten Energie. Wählt man die Energien als arithmetische Folge, verkörpert jede Bahn eine Art Höhenlinie für die Energiefunktion, die über dem Phasenraum ein elliptisches Tal mit dem tiefsten Punkt im Ursprung des Phasenraums bildet. Die Hamilton-Gleichungen besagen nun, dass das negative Gefälle der Hamiltonfunktion in x-Richtung gleich der Änderungsrate des zugehörigen Impulses und dass das Gefälle in px-Richtung gleich der Änderungsrate des Ortes ist.