Lösungen zu Aviatik 2008/3

Aufgabe 1

1. Die Druckdifferenz berechnet sich aus dem Gesetz von Bernoulli [math]\left(p_1+\frac{\varrho_1}{2}v_1^2+\varrho g h_1=p_2+\frac{\varrho_2}{2}v_2^2+\varrho g h_2\right)[/math]. Die beiden Geschwindigkeiten sind je gleich der Stärke des Volumenstromes dividiert durch den zugehörigen Querschnitt (1.59 m/s und 4.42 m/s). Dies ergibt eine Druckdifferenz von [math]\Delta p=\frac{\varrho}{2}\left(v_1^2-v_2^2\right)[/math] = 8.5 kPa.
2. Die Stärke des kinetischen Energiestromes ist gleich Dichte der kinetischen Energie mal Volumenstromstärke: [math]I_{W_{kin}}=\frac{\varrho}{2}v^2I_V[/math] = 0.634 W / 4.89 W.
3. Der konvektive Impulsstrom ist gleich Geschwindigkeit mal Stärke des Massenstromes: [math]I_{p_{conv}}=vI_m=v\varrho I_V[/math] = 0.796 N / 2.21 N.
4. Der gesuchte Impulsstrom ist gleich der Differenz zwischen den resultierenden Impulsströmen bezüglich der beiden Querschnittflächen [math]I_{p_{total}}=p_1 A_1+v_1\varrho I_V-\left(p_2 A_2+v_2\varrho I_V\right)[/math] = 12.56 N + 0.796 N - 3.56 N - 2.21 N = 7.59 N. Zur Berechnung des leitungsartigen Impulsstromes (Druckkraft) muss man nur den Überdruck nehmen. Der Umgebungsdruck erzeugt einen isotropen Impulsstrom, d.h. durch die Wirkung der Umgebung fliesst jede der drei Impuls-Komponenten mit gleicher Stromdichte in die zugehörige Richtung.

Aufgabe 2

1. Der konvektive Impulsstrom ist gleich Geschwindigkeit mal Massenstrom oder gleich Dichte mal Geschwindigkeit im Quadrat mal Querschnitt. Folglich gilt für den Querschnitt [math]A_1=\frac{I_p}{\varrho v_1^2}[/math] = 1.19 10^-3 m².
2. Der gesuchte Druck berechnen wir wieder mit dem Gesetz von Bernoulli [math]\left(p_1+\frac{\varrho_1}{2}v_1^2+\varrho g h_1=p_2+\frac{\varrho_2}{2}v_2^2+\varrho g h_2\right)[/math], wobei der Überdruck in Punkt 1 und die Höhe in Punkt 2 gleich Null sind: [math]p_2=\varrho g h_1+\frac{\varrho}{2}\left(v_1^2-v_2^2\right)[/math] = 8.6 bar.
3. Die Pumpe muss das Wasser auf den hohen Druck und die notwendige Geschwindigkeit fördern: [math]P=\left(p_2+\frac{\varrho}{2}v_2^2\right)I_V=\left(\varrho g h_1+\frac{\varrho}{2}v_1^2\right)I_V[/math] = 41.7 kW.

Aufgabe 3

1. Der kondensierende Dampf muss die Milch erhitzen: [math]\Delta H_D+\Delta H_M=-m_D r+m_M c\Delta T=0[/math]. Folglich ist die Menge Dampf, die kondensieren muss, damit die Milch auf die gleich Temperatur wie der Dampf steigt, gleich [math]m_D=\frac{m_M c\Delta T}{r}[/math] = 0.338 kg.
2. Die produzierte Entropie ist gleich der Summe der beiden Entropieänderungen: [math]S_{prod}=\Delta S_D+\Delta S_M=-\frac{m_Dr}{T_D}+c\ln\frac{T_D}{T_M}[/math] = 269 J/K.
3. Die Enthalpieänderung der Milch ([math]\Delta H_M=m_Mc\Delta T[/math] = 526.5 kJ) ist gleich der von der Pumpe abzugebenden Wärmeenergie. Dividiert man diese Energie durch die obere Temperatur der Wärmepumpe, erhält man die zu fördernde Entropie: [math]S=\frac{\Delta H_M}{T_{oben}}[/math] = 1245 J/K. Die von der Pumpe aufzuwendende Arbeit ist dann gleich Entropie mal "Förderhöhe": [math]W=S\Delta T[/math] = 186.7 kJ.
4. Bei absolut reversibler Prozessführung ist die von der idealen Maschine aufzuwendende Energie gleich der Differenz zwischen Enthalpiezuwachs der Milch und der von der Entropie aus der Umgebung mit genommenen Wärmeenergie: [math]W=\Delta H_M-W_{th,Umg}=\Delta H_M-\Delta S_MT_{Umg}[/math] = 63.4 kJ.

Aufgabe 4

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  T-S-Diagramm

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  p-V-Diagramm

1. Die Luft (κ = 1.4) wird zuerst isentrop auf 20 bar verdichtet, dann isochor wieder auf Umgebungstemperatur abgekühlt und am Schluss isentrop auf Umgebungsdruck entspannt. Die oben stehenden Diagramme sind mit dem Carnotor simuliert worden.
2. Zu Beginn des Prozesses füllt die Luft ein über das universelle Gasgesetz zu berechnendes Volumen aus [math]V_1=\frac{nRT_1}{p_1}[/math] = 2.49 10^-2 m³. Dieses Volumen verringert sich infolge der isentropen Kompression auf [math]V_2=V_1\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{1/\kappa}[/math] = 2.94 10^-3 m³. Die zugehörige Temperatur berechnen wir wieder mit Hilfe des universellen Gasgesetzes [math]T_2=\frac{p_2V_2}{nR}[/math] = 706 K.
3. Der Druck sinkt mit dem isochoren Auskühlen der Luft auf [math]p_3=p_2\frac{T_3}{T_2}[/math] = 8.5 bar. Mit der isentropen Expansion nimmt das Volumen wieder zu [math]V_4=V_3\left(\frac{p_3}{p_4}\right)^{1/\kappa}[/math] = 1.35 10^-2 m³ und die Temperatur sinkt auf [math]T_4=\frac{p_4V_4}{nR}[/math] = 162.8 K.
4. Die Nettoarbeit ist bei der isentropen Kompression oder der Expansion gleich der Änderung der inneren Energie abzüglich der Arbeit gegen die Umgebung: [math]W=n\hat c_V\Delta T+p_{Umg}\Delta V[/math] = 6.24 kJ bzw. -1.8 kJ (die molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen ist für ein zweiatomiges Gas gleich 5/2 R).

Aufgabe 5

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  Systemdiagramm und Gleichungen

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  Geschwindigkeit und Ort

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  Kräfte und Impuls

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  dissipierte Energie und Leistung

Dieses Modell berücksichtigt die Abnahme der Gravitationsfeldstärke und des Drucks in Funktion der Höhe nicht. Zudem wird beim Luftwiderstand nicht zwischen Unter- und Überschallströmung unterschieden.

Aufgabe