Dynamische Systeme höherer Ordnung: Unterschied zwischen den Versionen
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Zwei zyllinderförmige Gefässe sind über ein bodennahes Röhrchen miteinander verbunden. Solange das eine Gefäss höher als das andere mit Wasser gefüllt ist, fliesst ein Ausgleichsstrom. Nimmt man Öl statt Wasser, bleibt die Strömung laminar und wir können den Ausgleichsvorgang mit einer Exponetialfunktion beschreiben. Nun denken wir uns das Röhrchen immmer dicker bis ein mit Wasser gefülltes U-Rohr vor uns steht. Dann erfolgt der Ausgleichsvorgang nicht mehr über einen einmal abklingenden Volumenstrom, sondern über einen abklingend-oszillierenden Volumenstrom. Wäre die Flüssigkeit suprafluid, würde die Oszillation oder Schwingung überhaupt nicht mehr abklingen. |
Zwei zyllinderförmige Gefässe sind über ein bodennahes Röhrchen miteinander verbunden. Solange das eine Gefäss höher als das andere mit Wasser gefüllt ist, fliesst ein Ausgleichsstrom. Nimmt man Öl statt Wasser, bleibt die Strömung laminar und wir können den Ausgleichsvorgang mit einer Exponetialfunktion beschreiben. Nun denken wir uns das Röhrchen immmer dicker bis ein mit Wasser gefülltes U-Rohr vor uns steht. Dann erfolgt der Ausgleichsvorgang nicht mehr über einen einmal abklingenden Volumenstrom, sondern über einen abklingend-oszillierenden Volumenstrom. Wäre die Flüssigkeit suprafluid, würde die Oszillation oder Schwingung überhaupt nicht mehr abklingen. |
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Das Verhalten des U-Rohrs kann durch zwei Speicher mit konstanter [[Kapazität]] und einem Leiter mit [[Widerstand]] und [[Induktivität]] modelliert werden. Analage Systeme kennt man aus der Elektrodynamik (zwei über eine Spule verbunden Kondensatoren), aus der Translationsmechanik (zwei über eine Feder verbundene Luftkissenfahrzeuge)und aus der Rotationsmechanik (zwei über eine Drehfeder verbundene Schwungräder). Dominiert das Widerstandselement (Strömungswiderstand, elektrischer Widerstand der Spule, Dämpfer in Serie zur Feder), klingt der Potentialunterschied (Druck, Spannung, Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit) exponentiell ab, falls sich alle Elemente linear verhalten. |
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Dynamischen Systemen, die aus zwei Speicher bestehen und die über einen Leiter miteinander verbunden sind, können mathematisch zu einem System mit nur einem Speicher mit reduzierter Kapazität zusammenfasst weden. Systeme mit einem oder zwei Speicher und einer Induktivität, die also zwei unabhängig Energiespeicher besitzen, nennt man Systeme 2. Ordnung, weil man zur Berechnung des Verhaltens zweimal integrieren muss. |
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==Speicher und Leiter== |
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Version vom 25. März 2015, 06:10 Uhr
Lernziele
Problemstellung
Zwei zyllinderförmige Gefässe sind über ein bodennahes Röhrchen miteinander verbunden. Solange das eine Gefäss höher als das andere mit Wasser gefüllt ist, fliesst ein Ausgleichsstrom. Nimmt man Öl statt Wasser, bleibt die Strömung laminar und wir können den Ausgleichsvorgang mit einer Exponetialfunktion beschreiben. Nun denken wir uns das Röhrchen immmer dicker bis ein mit Wasser gefülltes U-Rohr vor uns steht. Dann erfolgt der Ausgleichsvorgang nicht mehr über einen einmal abklingenden Volumenstrom, sondern über einen abklingend-oszillierenden Volumenstrom. Wäre die Flüssigkeit suprafluid, würde die Oszillation oder Schwingung überhaupt nicht mehr abklingen.
Das Verhalten des U-Rohrs kann durch zwei Speicher mit konstanter Kapazität und einem Leiter mit Widerstand und Induktivität modelliert werden. Analage Systeme kennt man aus der Elektrodynamik (zwei über eine Spule verbunden Kondensatoren), aus der Translationsmechanik (zwei über eine Feder verbundene Luftkissenfahrzeuge)und aus der Rotationsmechanik (zwei über eine Drehfeder verbundene Schwungräder). Dominiert das Widerstandselement (Strömungswiderstand, elektrischer Widerstand der Spule, Dämpfer in Serie zur Feder), klingt der Potentialunterschied (Druck, Spannung, Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit) exponentiell ab, falls sich alle Elemente linear verhalten.
Dynamischen Systemen, die aus zwei Speicher bestehen und die über einen Leiter miteinander verbunden sind, können mathematisch zu einem System mit nur einem Speicher mit reduzierter Kapazität zusammenfasst weden. Systeme mit einem oder zwei Speicher und einer Induktivität, die also zwei unabhängig Energiespeicher besitzen, nennt man Systeme 2. Ordnung, weil man zur Berechnung des Verhaltens zweimal integrieren muss.