Kapazitives Gesetz: Unterschied zwischen den Versionen

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''d&phi;<sub>M</sub> = dM / C<sub>M</sub>(&phi;<sub>M</sub>)'' oder ''dM = C<sub>M</sub>(&phi;<sub>M</sub>) d&phi;<sub>M</sub> ''
''d&phi;<sub>M</sub> = dM / C<sub>M</sub>(&phi;<sub>M</sub>)'' oder ''dM = C<sub>M</sub>(&phi;<sub>M</sub>) d&phi;<sub>M</sub> ''


Die Menge berechnet sich dann durch Summation (Integration) über alle Zwischenzustände Füllzustände):
Die Menge berechnet sich dann durch Summation (Integration) über alle Zwischenzustände (Füllzustände):


''M = <big>&int;</big> dM = <big>&int;</big> C<sub>M</sub>(&phi;<sub>M</sub>) d&phi; ''
''M = <big>&int;</big> dM = <big>&int;</big> C<sub>M</sub>(&phi;<sub>M</sub>) d&phi; ''



==Beispiele==
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==Energie==
==Energie==
Die Energie eines homogenen Speichers berechnet sich über die Energiebilanz, den [[zugeordneten Energiestrom]] und die Mengenbilanz:
Die Energie eines homogenen Speichers berechnet sich über die Energiebilanz, den [[zugeordneten Energiestrom]],die Mengenbilanz und das Kapazitivgesetz:


''dW/dt = &sum;<sub>i</sub> I<sub>Wi</sub> = &sum;<sub>i</sub> (&phi;<sub>M</sub> I<sub>Mi</sub>)= &phi;<sub>M</sub> &sum;<sub>i</sub> I<sub>Mi</sub> = &phi;<sub>M</sub> dM/dt = C<sub>M</sub>(&phi;<sub>M</sub>) &phi;<sub>M</sub> d&phi;<sub>M</sub>/dt ''
''dW/dt = &sum;<sub>i</sub> I<sub>Wi</sub> = &sum;<sub>i</sub> (&phi;<sub>M</sub> I<sub>Mi</sub>)= &phi;<sub>M</sub> &sum;<sub>i</sub> I<sub>Mi</sub> = &phi;<sub>M</sub> dM/dt = C<sub>M</sub>(&phi;<sub>M</sub>) &phi;<sub>M</sub> d&phi;<sub>M</sub>/dt ''

Multipliziert man die [[Änderungsraten]] mit dem Zeitschritt ''dt'' und summiert (integriert) über alle Zwischenzustände, folgt:


''&Delta;W = <big>&int;</big> dW = <big>&int;</big> &phi;<sub>M</sub> dM = <big>&int;</big> C<sub>M</sub>(&phi;<sub>M</sub>) &phi;<sub>M</sub> d&phi;<sub>M</sub>''
''&Delta;W = <big>&int;</big> dW = <big>&int;</big> &phi;<sub>M</sub> dM = <big>&int;</big> C<sub>M</sub>(&phi;<sub>M</sub>) &phi;<sub>M</sub> d&phi;<sub>M</sub>''


Hängt die Kapazität nicht vom Inhalt ab, kann das Integral ausgewertet werden:
Hängt die Kapazität nicht vom Inhalt ab, kann das Integral einfach ausgewertet werden:


''&Delta;W = <big>&int;</big> &phi;<sub>M</sub> dM = <big>&int;</big> C<sub>M</sub> &phi;<sub>M</sub> d&phi;<sub>M</sub> = 1/2 C<sub>M</sub> [(&phi;<sub>M nachher</sub>)<sup>2</sup> - (&phi;<sub>M vorher</sub>)<sup>2</sup>]''
''&Delta;W = <big>&int;</big> &phi;<sub>M</sub> dM = <big>&int;</big> C<sub>M</sub> &phi;<sub>M</sub> d&phi;<sub>M</sub> = 1/2 C<sub>M</sub> [(&phi;<sub>M nachher</sub>)<sup>2</sup> - (&phi;<sub>M vorher</sub>)<sup>2</sup>]''

Ist der Speicher zu Beginn leer, gilt:

''W = 1/2 C<sub>M</sub> (&phi;<sub>M</sub>)<sup>2</sup>''

Version vom 4. August 2006, 05:23 Uhr

Begriff

Das kapazitive Gesetz verknüpft die gespeicherte Menge oder Primärgrösse mit dem zugehörigen Potenzial (das Potenzial ist eine Funktion der Menge, die Menge eine Funktion des Potenzials):

φM = f(M) oder M = f-1M)

Im einfachsten Fall nimmt das Potenzial proportional mit der Menge zu (Füllstand wächst proportional mit dem Inhalt). Die zugehörige Kapazität ist dann eine Konstante:

ΔφM = ΔM / CM oder ΔM = CM ΔφM

Der Begriff Kapazität kann auch verwendet werden, wenn das Potenzial nicht proportional mit der gespeicherten Menge wächst:

M = dM / CMM) oder dM = CMM) dφM

Die Menge berechnet sich dann durch Summation (Integration) über alle Zwischenzustände (Füllzustände):

M = dM = CMM) dφ


Beispiele

Gebiet Element Kapazität Einheit Bemerkung
Hydrodynamik zylindrisches Gefäss A/(ρg) m3/Pa = m4s2/kg A(h) für beliebige Gefässe
Hydrodynamik Federspeicher A2/D m3/Pa = m4s2/kg D Richtgrösse oder Gesamtfederkonstante
Elektrodynamik Plattenkondensator ε0A/d Farad (F) d Plattenabstand
Translationsmechanik starrer Körper träge Masse m Kilogramm (kg) alle drei Komponenten
Rotationsmechanik starrer Körper Massenträgheit J kg m2 symmetrischer Tensor
Thermodynamik homogener Stoff mcS J/K2 cS=cW/T


Energie

Die Energie eines homogenen Speichers berechnet sich über die Energiebilanz, den zugeordneten Energiestrom,die Mengenbilanz und das Kapazitivgesetz:

dW/dt = ∑i IWi = ∑iM IMi)= φMi IMi = φM dM/dt = CMM) φMM/dt

Multipliziert man die Änderungsraten mit dem Zeitschritt dt und summiert (integriert) über alle Zwischenzustände, folgt:

ΔW = dW = φM dM = CMM) φMM

Hängt die Kapazität nicht vom Inhalt ab, kann das Integral einfach ausgewertet werden:

ΔW = φM dM = CM φMM = 1/2 CM [(φM nachher)2 - (φM vorher)2]

Ist der Speicher zu Beginn leer, gilt:

W = 1/2 CMM)2