Volumenänderungsrate

Problemstellung

Die Fähigkeit, aus der gemessenen Inhalts-Zeit-Funktion die Änderungsrate zu bestimmen, ist für den Umgang mit dynamischen Systemen von zentraler Bedeutung. Was für das Volumen gilt, trifft auch für eine der andern sechs Primärgrössen oder für die Energie zu. Die nachfolgenden Fragen sind nach Schulstufe und den zu erwartenden mathematischen Fähigkeiten geordnet.

Volksschule

1. Nachdem der Schulhausabwart den Brunnen auf dem Pausenplatz gründlich gereinigt hat, steckt er den Stöpsel ins Abflussrohr. Er weiss nun, dass nach zwei Stunden und zwanzig Minuten der Trog, der genau einen Kubikmeter Wasser fasst, zu 80% gefüllt ist.
   1. Wie viel Wasser enthält der Trog nach zwei Stunden und zwanzig Minuten?
   2. Wie viele Liter plätschern pro Minute aus der Brunnenröhre in den Trog?
   3. Wann muss der Abwart kontrollieren, ob der Überlauf funktioniert?

Mittelschule

1. Die Füllhöhe in einem zylinderförmigen Gefäss (Querschnitt 20 dm²) verändert sich gemäss der folgenden Funktion [math]h = h_0 - a\cdot t + b \cdot t^2[/math] mit h₀ = 1.6 m, a = 0.064 m/s und b = 0.00064 m/s^-2.
   1. Nach welcher Zeit ist das Gefäss leer?
   2. Wie hoch ist das Gefäss nach zwanzig Sekunden noch gefüllt?
   3. Mit welcher Geschwindigkeit sinkt der Wasserspiegel zu diesem Zeitpunkt ab?
   4. Wie stark ist dann der ausfliessende Volumenstrom?
2. Wie bestimmt man die Änderungsrate, wenn der Inhalt
   1. als Volumen-Zeit-Diagramm gegeben ist?
   2. als Tabelle mit Zeitpunkten und zugehörigem Volumen gegeben ist?
3. Aus einem zylinderförmigen Gefäss fliesst dickflüssiges Öl über eine horizontal ausgerichtet Leitung weg. Man stellt fest, dass der Füllstand pro Minute um 2% kleiner wird.
   1. Man suche eine formale Beschreibung für dieses Verhalten. Die Formel soll für eine gegebene Anfangshöhe h₀ direkt die Höhe nach n Minuten liefern.
   2. Wie lautet die Formel für die mittlere Änderungsrate auf dem n-ten Intervall. Das n-te Intervall liegt zwischen der n-1-ten- und der n-ten Minute.

Hochschule

1. Der Füllstand in einem zylinderförmigen Gefäss (Querschnitt 40 cm² ändert sich sinusartig [math]h = h_0 + h_1\sin(\omega t)[/math] mit h₀ = 20 cm und h₀ = 8 cm. Geben Sie die Volumenänderungsrate-Zeit-Funktion an.
2. Ein kegelförmiges Gefäss mit vertikaler Achse und einem Öffnungswinkel von 70° ist 30 cm hoch mit Wasser gefüllt. Welchen zeitlichen Verlauf muss der Zufluss haben, damit der Wasserspiegel in fünf Minuten gleichmässig auf 50 cm steigt.

Hinweis: Änderungsrate

Lösung