Lösung zu Volumenänderungsrate

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Volksschule

  1. Der Abwart kennt die Füllzeit des Brunnens aus seiner Erfahrung. Er ist der Praktiker und wir sind die Theoretiker.
    1. 80% eines Kubikmeters sind 800 Liter.
    2. Pro Minute fliessen 5 Liter und 7 Deziliter in den Trog hinein. Die Volumenänderungsrate beträgt also 5.714 Liter pro Minute.
    3. Der Brunnentrog ist nach 175 Minuten oder zwei Stunden und 55 Minuten voll.

Mittelschule

  1. Der Inhalt ändert sich quadratisch mit der Zeit. Folglich ist die Änderungsrate der Füllhöhe, die Geschwindigkeit des Wasserspiegels, eine lineare Funktion der Zeit.
    1. Die Lösung der quadratischen Gleichung liefert für h=0 eine Zeit von 50s.
    2. Nach zwanzig Sekunden ist das Gefäss noch 57.6 cm hoch gefüllt.
    3. Die Sinkgeschwindigkeit des Wasserspiegels ist die Änderungsrate der Füllhöhe [math]\dot h = -a + 2bt[/math]. Setzt man in diese Funktion eine Zeit von zwanzig Sekunden ein, erhält man -3.84 cm/s. Wer die Ableitungsregeln für Polynome noch nicht beherrscht, berechnet den Füllstand ein wenig vorher und kurz nachher, bestimmt die Differenz und dividiert diese durch den Zeitunterschied.
    4. Die Stärke des ausfliessenden Stromes ist gleich der Volumenänderungsrate, also gleich der Geschwindigkeit des Wasserspiegels mal den Querschnitt des Gefässes. In Zahlen ausgedrückt ist die Volumenstromstärke bezüglich des Gefässes gleich -7.68 Liter pro Sekunde.
  2. Die Änderungsrate ist definiert als Volumen nachher minus Volumen vorher dividiert durch die benötigte Zeit.
    1. Die Änderungsrate entspricht der Steigung der Kurve im V-t-Diagramm. Die Steigung kann mit Hilfe der Tangente an diesen Punkt elegant bestimmt werden.
    2. Bei Tabellen wendet man die Definition der Änderungsrate direkt auf die gegebenen Werte an.
  3. Der Füllstand verhält sich wie ein Guthaben mit negativem Zins.
    1. [math]h_n = (0.98)^n h_0[/math]
    2. [math]\dot h_n = \frac {0.98^{n-1}(0.98-1)}{\Delta t}= -0.02*0.98^{n-1}\frac {h_0}{\Delta t}[/math]

Hochschule

  1. Die Volumenänderunsrate-Zeit-Funktion ist gleich Querschnitt mal Füllstandsänderungsrate-Zeit-Funktion, also gleich [math]\dot V = k\cos(\omega t)[/math] mit k = ωAk1.
  2. Lösung folgt.


Aufgabe