Geschwindigkeit

Die Geschwindigkeit ist die Änderungsrate des Ortes. Als Formelzeichen verwendet man in der Regel ein kleines v. Die Geschwindigkeit wird in m/s oder km/h gemessen.

eindimensional

Bewegt sich ein Punkt längs einer Geraden, kann seine Ort in Abhängigkeit der Zeit mittels der Funktion x(t)) beschrieben oder durch das Orts-Zeit-Diagramm dargestellt werden. Die mittlere Geschwindigkeit auf dem Zeitabschnitt Δt ist durch den folgenden Quotienten definiert

[math]\overline{v_x} = \frac {x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac {\Delta x}{\Delta t}[/math]

Den Momentanwert der Geschwindigkeit erhält man durch einen Grenzübergang für Δt gegen 0

[math]v_x = \lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta x}{\Delta t}[/math]

Die Geschwindigkeit ist als Steigung aus dem Orts-Zeit-Diagramm herauszulesen.

räumlich

Bewegt sich ein Punkt im Raum, ist sein Ort durch den Vektor r(t) eindeutig festgelegt. Die mittlere Geschwindigkeit auf dem Zeitabschnitt Δt ist durch den folgenden Quotienten definiert

[math]\overline {\vec v} = \frac {\vec r_2 - \vec r_1}{t_2 - t_1} = \frac {\Delta {\vec r}}{\Delta t}[/math]

Den Momentanwert der Geschwindigkeit erhält man durch einen Grenzübergang für Δt gegen 0

[math]\vec v = \lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta {\vec r}}{\Delta t}[/math]

Bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems kann die Bewegung im Raum durch drei skalare Funktionen beschrieben werden

[math]\vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}[/math]

Die drei Komponenten der Geschwindigkeit sind aus den entsprechenden Funktionen des Ortes zu berechenen

[math]\dot {\vec r} = \begin{pmatrix} \dot x(t) \\ \dot y(t) \\ \dot z(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ v_z(t) \end{pmatrix}[/math]

Massenmittelpunkt

Die kinematische Definition der Geschwindigkeit kann auf jedes punkförmige Objekt (Körper, Lichtfleck an einer Wand, Schwingungszustand einer Schallwelle) angewendet werden. Die Dynamik liefert aber noch eine zweite Definition der Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes ist gleich dem Quotienten aus Impuls und Masse

[math]\vec v_{MMP} = \frac {\vec p}{m}[/math]

Im Modell des Massenpunktes fallen die kinematische und die dynamische Definition der Geschwindigkeit zusammen. Beim starren Körper ist der Massenmittelpunkt körperfest. Bei allen andern Objekten hat die dynamische Definition nicht direkt etwas mit der kinematischen zu tun.