Impulsbilanz

allgemeine Form

Die Impulsbilanz verknüpft die leitungsartigen und die konvektiven Impulsströme mit den Impulsquellen bezüglich eines Systems und setzt diese Summe gleich der zugehörigen Impulsänderungsrate

[math]\sum_{i} \begin{pmatrix} I_{px i}\\ I_{py i} \\ I_{pz i}\end{pmatrix} + \sum_{j} \begin{pmatrix} I_{pxconj}\\ I_{pyconj} \\ I_{pzconj}\end{pmatrix} + \sum_{k} \begin{pmatrix} \Sigma_{pxk}\\ \Sigma_{pyk} \\ \Sigma_{pzk}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dot p_x\\ \dot p_y \\ \dot p_z\end{pmatrix}[/math]

Die leitungsartigen Impulsströme und die Impulsquellen nennt man Kräfte. Die konvektiven Impusströme können durch das Produkt aus mittlerer Strömungsgesschwindigkeit und Massenstromstärke ersetzt werden (die Strömungsgeschwindigkeit nennt man deshalb auch spezifischen Impuls). Damit nimmt die Impulsbilanz die bekannte Form an

[math]\sum_{i} \vec F_i + \sum_{j} [\vec v_j I_{m j}] + \vec F_G + \vec F_L = \dot {\vec p}[/math]

F_G steht für Gewichtskraft (Masse mal Gravitationsfeldstärke)

[math]\vec F_G = m \vec g[/math]

und F_L für Lorentzkraft (elektrische Ladung mal Einfluss des elektromagnetischen Feldes)

[math]\vec F_G = Q (\vec E + \vec v \times \vec B)[/math]

Festkörper

Ein Festkörper kann keine Masse mit der Umgebung austauschen. Folglich entfallen die konvektiven Ströme. Zudem kann die Impulsänderungsrate über das Kapazivgesetz in Masse mal Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes umgeformt werden

[math]\sum_{i} \vec F_i + \vec F_G + \vec F_L = m \dot {\vec v}_{MMP}[/math]

Diese Formel gilt für alle Körper, die während des ganzen Prozesses zusammenbleiben, also auch für ein Auto, das in eine Mauer prallt. Nur ist der Massenmittelpunkt beim aufprallenden Auto kein materieller Punkt mehr. Die Formel stimmt, aber sie nützt nicht mehr viel. Ein System, das sich während des Prozesses stark verformt, muss zuerst in eine dem Problem angepasste Modellstruktur gebracht werden. Danach kann man für die einzelnen Teilsysteme die Bilanzgleichungen formulieren.

starrer Körper

Nur beim starren Körper ist der Massenmittelpunkt starr mit dem System verbunden. Folglich bestimmen die Kräfte die Beschleunigung eines körperfesten Punktes. Eine Integration über die Zeit liefert dann die Geschwindigkeit, eine weitere den Ort. Dieses Verfahren gilt in der technischen Mechanik heute noch als "State of the Art". Weil die Kräfte unabhängig von ihrem Angriffspunkt die Beschleunigung des Massenmittelpunktes erzwingen, wird im Physikunterricht leider oft nur die "Mechanik des Massenpunktes" als Beispiel eines mechanischen Systems unterrichtet. Die Folgen, kein Verständnis für reale Prozesse wie Autounfall oder Nägel einschlagen, sind bestens bekannt.

offenes System

Eine korrekte Formulierung der Impulsbilanz hilft auch bei der Lösung von Fragen im Zusammenhang mit offenen Systemen. Beispiele sind

• die Rakete
• die Peltonturbine
• die Coriolis-Massendurchflussmesser