Elektromagnetisches Feld

Das elektromagnetische Feld ist ein raumfüllendes System, dessen Zustand an jedem Punkt der Raumzeit durch die elektrische und magnetische Feldstärke (E, B) festgelegt ist. Das elektromagnetische Feld speichert und überträgt Energie (Masse), Impuls, Drehimpuls sowie Entropie. Das elektromagnetische Feld setzt sich aus Photonen zusammen.

Gesetze

Phänomene

Das elektromagnetische Feld erscheint uns in einer Fülle von Phänomenen

• elektrisch geladene Körper ziehen sich an (ungleich geladen) oder stossen sich ab (gleich geladen)
• stromdurchflossene, parallel ausgerichtete Drähte ziehen sich an (Strom fliesst in gleiche Richtung) oder stossen sich ab (Strom fliesst in Gegenrichtung)
• Stromkreise transportieren Energie und Information
• das elektromagnetische Feld transportiert Energie (Mikrowellenofen), Entropie (Backofen) oder Information (Fernsehsender, Satellit, Handy) durch den leeren Raum

Feldstärke

Aus historischen Gründen wird das elektromagnetische Feld vom Kraftbegriff her aufgebaut, obwohl die mechanische Wirkung des elektromagnetischen Feldes von geringer Bedeutung ist. Setzt man einen kleinen Körper mit der Ladung Q (Probeladung) an einen Punkt des leeren Raumes und misst die Kompensationskraft, also die Kraft, die den Körper im Gleichgewicht hält, kann man auf die Lorentzkraft, die Kraft des elektromagnetischen Feldes auf den Körper, schliessen. Die Lorentzkraft ist gleich

[math]\vec F_L = Q (\vec E + \vec v \times \vec B)[/math]

Bei bekannter Ladung des Probekörpers und nach mehreren Messungen bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten lassen sich so die beiden Feldstärken E (Einheit N/C oder V/m) und B (Einheit Tesla (T) oder Ns/(Cm)) bestimmen.

Das elektromagnetische Feld ist durch die elektrische Feldstärke E und die magnetische Feldstärke B an jedem Ort und zu jeder Zeit vollständig charakterisiert. Obwohl die Definition der Feldstärken dem Paradigma der Punktmechanik entstammt, entzieht sich das elektromagnetische Feld der mechanischen Betrachtungsweise. Die elektrische und die magnetische Feldstärke können als Zustandsgrössen eines ausgedehnten Systems angesehen werden: der Zustand des elektromagnetischen Feldes ist durch die beiden vektorwertige Funktionen E(t, r) und B(t, r) vollständig beschrieben.

elektrostatisches Feld

Ein kleiner Körper mit der Ladung Q erzeugt an jedem Punkt des Raumes ein elektrisches Feld der Stärke

[math]\vec E = \frac {Q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \cdot \frac {\vec r}{r}[/math]

wobei der Ortsvektor r vom Körper zum fraglichen Punkt zeigt und ε₀, die elektrische Feldkonstante, die Kopplung zwischen Ladung und Feld beschreibt.

Eine beliebig im Raum verteilte Ladung mit der Dichte ρ_Q erzeugt demnach an einem bestimmten Ort, der bezüglich eines fest gewählten Bezugspunkt mit dem Ortsvektor r gemessen wird, die folgende Feldstärke

[math]\vec E = \frac {1}{4 \pi \epsilon_0} \int \frac {\rho_Q(\vec r)\vec r}{r^3} dV[/math]

Die reziprok quadratische Abnahme der Feldstärke mit der Distanz zur Ladung kann sehr kompakt formuliert werden. Wählt man ein Gebiet mit einer klar definierten Oberfläche (Hüllfläche) aus, ist der elektrische Fluss durch die Oberfläche proportional zur von der Hüllfläche eingeschlossenen Ladung

[math]\Phi_E = \oint \vec E \cdot d\vec A = \epsilon_0 \int \rho_Q dV = \epsilon_0 Q[/math]

Im Gegensatz zu den auf ein System bezogenen Stromstärken der Physik der dynamischen Systeme wird bei den Flüssen die Hüllfläche nach aussen orientiert. Mit dieser mathematischen gut zu begründenden Flächenorientierung wird ein bezogen auf einen negativ geladenen Körper "zuströmender" Fluss auch negativ gezählt. Die Aussage, wonach der elektrisch Fluss durch ein Hüllfläche gleich der von dieser Hülle eingeschlossenen Ladung ist, folgt direkt aus der 1/r²-Abhängigkeit der Feldstärke und hängt damit zusammen, dass die Bausteine des elektromagnetischen Feldes, die Photonen, keine Ruhemasse besitzen.

Bewegt man im elektrostatischen Feld einen kleinen, geladenen Körper (Probeladung) auf einem beliebigen Weg wieder an den Ausgangspunkt zurück, muss die Arbeit der Kompensationskraft verschwinden. Daraus folgt, dass im elektrostatischen Feld das Zirkulationsintegral länges eines beliebigen Weges gleich Null sein muss

[math]\Gamma_E = \oint \vec E \cdot d\vec s = 0[/math]

Die elektrischen Ladungen bilden die Quellen des elektrischen Feldes, wobei die positiven Ladungen eine positive und die negativen eine negative Quellenstärke erzeugen. Das elektrostatische Feld weist keine Wirbel auf, ist also überall wirbelfrei.

magnetostatisches Feld

Ein beliebig kurzes Stück ds eines stromdurchflossenen Drahtes (Stromstärke I) erzeugt im Abstand r eine (inifinitesimal kleine) magnetische Feldstärke

[math]d\vec B = \frac {I \mu_0}{4 \pi r^2} \left( \frac {\vec r}{r} \times d\vec s \right)[/math]

wobei der Ortsvektor r vom fraglichen Punkt zum Drahtstück zeigt und μ₀, die magnetische Feldkonstante, die Kopplung zwischen Stromstärke und Feld beschreibt.

Eine Integration über den gesamten Draht liefert so die magnetische Feldstärke beim fraglichen Punkt

[math]\vec B = \frac {I \mu_0}{4 \pi} \int \frac {\vec r \times d\vec s}{r^3}[/math]

Beim magnetischen Feld verschwindet der Fluss durch eine geschlossene Hüllfläche in jedem Fall

[math]\Phi_B = \oint \vec B \cdot d\vec A = 0[/math]

Wählt man einen beliebigen Weg und bildet das Zirkulationsintegral für das magnetische Feld, folgt aus der Berechnungsformel für das Magnetfeld und dem Verschwinden des magnetischen Flusses für eine geschlossene Hüllfläche das sogenannte Druchflutungsgesetz

[math]\Gamma_B = \oint \vec B \cdot d\vec s = \mu_0 \sum_i I_i[/math]

wobei auf der rechten Seite des Durchflutungsgesetzes nur die Stärken der Ströme zu zählen sind, die vom Weg umschlossen werden.

Die elektrischen Ströme bilden die Wirbel des magnetostatischen Feldes, wobei der Strom immer im Sinne der rechten Hand "umflossen" wird. Das Magnetfeld weist keine Quellen auf, ist also quellenfrei.

Induktionsgesetz und Ergänzung

Ändert sich der magnetische Fluss durch einen geschlossenen Drahtring, fliesst in diesem ein Wirbelstrom. Der elektrische Strom ist proportional zur Änderungsrate des magnetischen Flusses. Weil jeder Strom von einer Spannung getrieben wird, induziert die Änderung des magnetischen Flusses im Drahtring primär eine Umlaufspannung

[math]\dot\Phi_B=\frac{d}{dt}\left(\int\vec B\cdot d\vec A\right)=-\oint\vec E\cdot d\vec s = -\Gamma_E = U[/math]

Die Änderungsrate des magnetischen Flusses erzeugt einen elektrische Wirbel. Mit diesem Gesetz koppelt das magnetische Feld unmittelbar an das elektrische.

Analog zur magnetisch-elektrischen Kopplung existiert auch noch eine elektrisch-magnetische Kopplung: die Änderungsrate des elektrischen Flusses erzeugt einen magnetischen Wirbel.

[math]c^{-2}\dot\Phi_E =c^{-2}\frac {d}{dt}\left(\int\vec E\cdot d\vec A\right)=\oint\vec B\cdot d\vec s= \Gamma_B[/math]

Im Gegensatz zur magnetischen Flussänderung erzeugt die elektrische einen Wirbel im Sinne der rechten Hand. Dass der von der elektrischen Flussänderung erzeugt magnetische Wirbel um die Lichtgeschwindigkeit c im Quadrat schwächer als der von der magnetischen Flussänderung erzeugte elektrische Wirberl ist, hängt mit dem (SI-System) zusammen. Weil die Feldstärken von der Kraft her definiert sind, wird in diesem Einheitensystem das elektrische Feld im Verhältnis zum magnetischen mit einer um die Lichtgeschwindigkeit zu kleinen Einheit gemssen.

Struktur

Die Struktur des elektromagnetischen Feld lässt sich mit vier Aussagen beschreiben

• die elektrischen Ladungen bilden die Quellen des elektrischen Feldes
• das magnetische Feld hat keine Quellen
• die elektrischen Ströme und die Änderungsrate des elektrischen Flusses erzeugen einen magnetischen Wirbel
• die Änderungsrate des magnetischen Flusses erzeugt einen elektrischen Wirbel

Mathematisch formuliert lauten diese vier Aussagen

• [math]\Phi_E = \epsilon_0 Q[/math]
• [math]\Phi_B = 0[/math]
• [math]\Gamma_B = \mu_0 \sum_i I_i + c^{-2}\dot \Phi_E[/math]
• [math]-\Gamma_E = \dot \Phi_B[/math]

Diese vier Gesetze lassen sich in zwei Gruppen einteilen. Zwei Gesetze nehmen Bezug auf die Ladung

• [math]\Phi_E = \epsilon_0 Q[/math]
• [math]\Gamma_B - c^{-2}\dot \Phi_E= \mu_0 \sum_i I_i[/math]

und zwei beziehen sich nur auf die Feldstärken

• [math]\Gamma_E - \dot \Phi_B = 0[/math]
• [math]\Phi_B = 0[/math]