Lösung zu Jet d'Eau

Die Ausströmgeschwindigkeit kann mit Hilfe des Gesetzes von Bernoulli oder der speziellen Formulierung von Torricelli gerechnet werden, falls die Wirkung der Luft vernachlässigt wird. Dann enspricht die Ausströmgeschwindigkeit der Geschwindigkeit eines Körpers im freien Fall aus 140 m Höhe.

1. [math]v = \sqrt {2gh}[/math] = 53 m/s (190 km/h)
2. Der Querschnitt der Düse ist gleich [math]A = \frac {I_V}{v}[/math] = 94.5 cm², was einem Durchmesser von 110 mm entspricht.
3. Ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes benötigt der das Wasser 10.6 Sekunden, um die Geschwindigkeit von 53 m/s auf -53 m/s zu verändern. Folglich befinden sich mindestens 5.25 t Wasser im Strahl. Weil das Wasser im Mittel langsamer absinkt als aufsteigt, dürfte der wahre Wert etwa bei 7 bis 8 Tonnen liegen.
4. Die Pumpleistung entspricht mindestens der Stromstärke des vom Strahl beim Austritt mitgeführten kinetischer Energie [math]I_{W_{kin}} = \rho_{W_{kin}} I_V = \frac {\rho}{2}v^2 I_V = 700 kW[/math]. Der wahre Wert liegt bei etwa 1000 kW.

Der Wasserstrahls muss, weil die Geschwindigkeit mit zunehmender Höhe kleiner wird, gemäss der Kontinuitätsgleichung nach oben dicker werden. Vernachlässigt man wieder den Einfluss der umgebenden Luft, gilt

[math]A(h) = \frac {I_V}{v(h)} = \frac {I_V}{\sqrt{v_0^2 - 2g h}}[/math]

wobei die Formel für die Geschwindigkeit vom Gesetz von Bernoulli geliefert wird

[math]\frac {\rho}{2}v_0^2 = \frac {\rho}{2}v^2 + \rho g h[/math].

Würde diese Formel exakt zutreffen, müsste sich der Strahl beliebig ausweiten. Weil die Energiebilanz nach Bernoulli die Quergeschwindigkeiten nicht berücksichtigt, darf man diese Betrachtung aber nicht auf die Spitze treiben.

Aufgabe