Lösung zu Planetengetriebe

Die Geschwindigkeiten von zwei Punkten auf einem starren Körper unterscheiden sich durch folgende Beziehung

[math]\vec v_B = \vec v_A + \vec \omega \times \vec s_{AB}[/math]

Der Distanzvektor s_AB zeigt von A nach B.

1. Die beiden Wälzkreise bewegen sich mit 15 m/s bzw. mit 6 m/s.
2. Die Verbindungslinien von den Berührpunkten Sonnenrad-Planetenrad zu den Berührpunkten Planetenrad-Hohlrad sind radial ausgerichtet. Deshalb vereinfacht sich die allgemeine Formel zu einer rein skalaren Betrachtung [math]\omega = \frac {v_B - v_A}{s_{AB}}[/math] = -150 ^-1. Die Planetenräder drehen sich rückwärts.
3. Die Achsen der Planetenräder bewegen sich mit 10.5 m/s auf ihrer Bahn. Folglich dreht sich der Planetenradträger mit einer Winkelgeschwindigkeit von 116.7 s^-1.
4. Das Drehmoment, die Stärke des Drehimpulsstromes, kann mit Hilfe des zugeordneten Energiestromes berechnet werden. Die Stärke des im Sonnenrad fliessenden Drehimpulsstromes ist gleich Energiestrom durch Beladungsmass, also gleich 5 kW durch 250 s^-1, was einen Wert von 20 Nm ergibt.

Bezüglich des Systems Planetengetriebe werden Energie und Drehimpuls ausgetauscht. Im stationären Betrieb müssen die zugehörigen Ströme den Knotensatz erfüllen. Kinematik und Knotensätze liefern drei Gleichungen

Kinematik: [math]\omega_P \frac {r_S + r_H}{2} = \frac {v_S + v_H}{2} = \frac {\omega_S r_S + \omega_H r_H} {2}[/math]

Drehimpulsbilanz: [math]M_S + M_H + M_P = 0[/math]

Energiebilanz: [math]M_S \omega_S + M_H \omega_H + M_P \omega_P = 0[/math]

Sind bei einem Planetengetriebe die beiden Radien gegeben, lässt dieses Gleichungssystem nur noch zwei Drehzahlen und ein Drehmoment als frei wählbare Grössen zu

[math]\omega_P = \frac {\omega_s r_s + \omega_H r_H}{r_S + r_H}[/math]

[math]\frac {M_S}{M_H} = \frac {r_S}{r_H}[/math]

In der hier gewählten Betriebsweise, fliesst über die Achse des Sonnenrades ein Drehimpulsstrom der Stärke 20 Nm und ein Energiestrom von 5 kW zu. In die Achse des Hohlrades betragen die Stromstärken 40 Nm und 2 kW. Folglich geht über den Planetenradträger ein Drehimpulsstrom mit einer Stärke von 60 Nm und ein Energiestrom von 7 kW weg.

Aufgabe