Lösung zu Planetengetriebe
Die Geschwindigkeiten von zwei Punkten auf einem starren Körper unterscheiden sich durch folgende Beziehung
- [math]\vec v_B = \vec v_A + \vec \omega \times \vec s_{AB}[/math]
Der Distanzvektor sAB zeigt von A nach B.
- Der innere Wälzkreis bewegt sich mit vS = rS * ωS = 0.06 m * 250 rad/s = 15 m/s, der äussere mit vH = rH * ωH = 0.12 m * 50 rad/s = 6 m/s.
- Die Verbindungslinien, die von den Berührpunkten Sonnenrad-Planetenrad zu den Berührpunkten Planetenrad-Hohlrad führen, sind radial ausgerichtet. Auf diese Berührpunkte des Planetenrads wenden wir die obige Vektorgleichung an: [math]\vec v_H = \vec v_S + \vec \omega_P \times \vec s_{SH}[/math]. Weil alle 4 Vektoren parallel oder senkrecht zueinander stehen, vereinfacht sich die Gleichung zu [math]\omega_P = \frac {v_H - v_S}{s_{SH}}[/math] = (6 m/s - 15 m/s) / 0.06 m = - 150 rad/s. Die Planetenräder drehen sich rückwärts.
- Die Achsen der Planetenräder bewegen sich mit [math] v_{PT} = v_S + \omega_P \cdot s_{S,PT}[/math] = 15 m/s - 150 rad/s * 0.03 m = 10.5 m/s auf ihrer Bahn (wieder sind alle Vektoren senkrecht zueinander). Folglich dreht sich der Planetenradträger mit einer Winkelgeschwindigkeit von ωPT = vPT / rP = 10.5 m/s / 0.09 m = 116.7 rad/s.
- Das Drehmoment, die Stärke des Drehimpulsstromes, kann mit Hilfe des zugeordneten Energiestromes berechnet werden. Die Stärke des im Sonnenrad fliessenden Drehimpulsstromes ist gleich Energiestrom durch Beladungsmass, also gleich 5 kW durch 250 rad/s, was einen Wert von 20 Nm ergibt.
Bezüglich des Systems Planetengetriebe werden Energie und Drehimpuls ausgetauscht. Im stationären Betrieb müssen die zugehörigen Ströme den Knotensatz erfüllen. Kinematik und Knotensätze liefern drei Gleichungen
- Kinematik: [math]\omega_{PT} \frac {r_S + r_H}{2} = \frac {v_S + v_H}{2} = \frac {\omega_S r_S + \omega_H r_H} {2}[/math]
- Drehimpulsbilanz: [math]M_S + M_H + M_{PT} = 0[/math]
- Energiebilanz: [math]M_S \omega_S + M_H \omega_H + M_P \omega_{PT} = 0[/math]
Sind bei einem Planetengetriebe die beiden Radien gegeben, lässt dieses Gleichungssystem nur noch zwei Drehzahlen und ein Drehmoment als frei wählbare Grössen zu
- [math]\omega_{PT} = \frac {\omega_s r_s + \omega_H r_H}{r_S + r_H}[/math]
- [math]\frac {M_S}{M_H} = \frac {r_S}{r_H}[/math]
In der hier gewählten Betriebsweise, fliesst über die Achse des Sonnenrades ein Drehimpulsstrom der Stärke 20 Nm und ein Energiestrom von 5 kW zu. In die Achse des Hohlrades betragen die Stromstärken 40 Nm und 2 kW. Folglich geht über den Planetenradträger ein Drehimpulsstrom mit einer Stärke von 60 Nm und ein Energiestrom von 7 kW weg.