Rollkörper auf schiefer Ebene

Rollkörper auf der schiefen Ebene sind ein beliebtes und altes Thema der Schulphysik. Entsprechend vielfältig sind die Lösungswege. Man sollte sich aber auch hier vor der Ein-Problem-eine-Formel-Methode hüten und systematisch vorgehen.

Problemstellung: Ein Rollkörper (Masse m, Massenträgheitsmoment J, Rollradius r) wird auf eine schiefe Ebene (Neigungswinkel β) gesetzt. Danach rollt er ohne zu rutschen hinunter. Die Rollreibung ist zu vernachlässigen.

1. Man schneide den Körper zuerst frei; man zeichne also alle Kräfte ein, die auf den Rollkörper einwirken.

2. 

   Querschnitt

   Nun formuliere man die Bilanzgleichungen zusammen mit den zugehörigen kapazitiven Gesetzen (Grundgesetze der Mechanik).
3. Man bestimme mit Hilfe der Rollbedingung die Beschleunigung des Massenmittelpunktes.
4. Die gleich Formel soll mit Hilfe der Energiebilanz gefunden werden. Dazu bilanziere man die Änderungsraten der verschiedenen Energie"formen".
5. Als Anwendung zu diesem Problem lassen wir eine homogene Kugel (Radius R, Massenträgheitsmoment [math]J = \frac {2}{5}mR^2[/math]) auf den beiden Kanten eines U-förmigen Profilstabes hinunter rollen. Wie breit muss der Querschnitt sein, damit die Kugel möglichst schnell unten ankommt? Die beiden Kanten des Profilstabes, auf denen die Kugel rollt, sind so beschaffen, dass die Dissipation vernachlässigt werden kann.

Lösung