Wärmeleitwert

Fliesst Wärme durch ein Fenster, eine Tür oder ein Stück Mauerwerk weg, kann die Leitfähigkeit dieses Bauteils bezüglich des thermischen Energiestromes mit dem Wärmeleitwert beschrieben werden. Der Kehrwert des Wärmeleitwerts ist der Wärmewiderstand.

Theorie

In der Physik versteht man unter Wärme die Energie, die bezüglich eines Systems in thermischer Form ausgetauscht wird. Folglich darf man nur von einem Wärmestrom bezüglich eines Systems und nicht von einem Wärmestrom durch einen Bauteil reden. Doch wer begriffen hat, dass Wärme die Energie ist, die von der Entropie transportiert wird, kann sich über diese etwas kleinliche und von Missverständnissen geprägte Definition hinwegsetzten. Im stationären Wärmetransport bleibt die Energie erhalten und die Entropie nimmt maximal zu.

Nun kann ein einfacher Ansatz gewählt werden, der das Verhalten vieler Bauteile bezüglich des thermischen Energiestromes recht gut beschreibt

[math]I_W = G_W \Delta T[/math]

Der Wärmeleitwert G_W tritt in dieser Gleichung als zu messender Proportionalitätsfaktor auf und hat die Einheit W/K.

Aus dieser Definition und der Erhaltung der Energie folgen die Vorschriften für die Parallelschaltung (Mauerwerke, Fenster- und Dachflächen)

[math]G_W = \sum_i G_{Wi}[/math]

und für die Serieschaltung (Abfolge von Schichten, Mehrfachverglasung bei Fenstern)

[math]\frac {1}{G_W} = \sum_i \frac {1}{G_{Wi}}[/math]

Die bei der Wärmeleitung pro Sekunde produzierte Entropie kann ebenfalls mit Hilfe dieses Wärmeleitungsgesetzes berechnet werden

[math]\Pi_S = I_{S2} - I_{S1} = \frac {I_W}{T_2} - \frac {I_W}{T_1} = G_W \frac {(\Delta T)^2}{T_1 T_2}[/math]

Die Entropieproduktionsrate Π_S wächst quadratisch mit dem Temperaturgefälle.

Wärmeleitung

Der Wärme wird lokal durch den Temperaturgradienten vorwärts getrieben. Im einfachsten Fall gilt das Fouriersches Gesetz, wonach die Energiestromdichte proportional zum Temperaturgradienten ist

[math]\vec j_W = \lambda grad T[/math]

prismenförmiges Bauteil

Wird dieses Gesetz auf einen prismenförmigen Körper angewendet, kann diese Gleichung mit dem Querschnitt multiplizieren werden. Der Gradienten zeigt dann in Richtung der Achse und ist gleich dem über dem Bauteil herrschenden Temperaturgefälle

[math]I_W = A j_W = A \lambda \frac {\Delta T}{\Delta s}[/math]

womit man für den Wärmeleitwert eine einfache Beziehung erhält

[math]G_W = \lambda \frac {A}{\Delta s}[/math]

zylinderförmiges Bauteil

Fliesst die Wärme durch ein Rohr radial nach aussen, gilt pro Hohlzylinder der Länge L und der Wandstärke dr

[math]I_W = 2 \pi r L \lambda \frac {dT}{dr}[/math]

Wird diese Gleichung separiert und über dr bzw. über dT integriert, erhält man für den Leitwert des Rohrstückes

[math]G_W = \lambda \frac {2 \pi L}{\ln(r_2/r_1)}[/math]

kugelförmiges Bauteil

Fliesst die Wärme durch eine Kugel radial nach aussen, gilt pro Kugelschale der Wandstärke dr

[math]I_W = 4 \pi r^2 \lambda \frac {dT}{dr}[/math]

Durch Separation und Integration über dr bzw. über dTerhält man für den Leitwert der Kugel

[math]G_W = \lambda \frac {4 \pi r_1 r_2}{r_2 - r_1} = \lambda \frac {4 \pi r_1 r_2}{\Delta r}[/math]

Wärmeübergang

An den Grenzschichten zwischen Festkörper und Flüssigkeit oder Gas tritt eine zusätzliche Temperaturdifferenz auf. Dies kann man bei einer mit heissem Tee gefüllten Tasse fühlen. Die Aussenfläche der Tasse ist viel heisser als die Umgebung, weil sich die Wärme an der Oberfläche staut. Von der Tasse kann die Wärme an die Luft übergehen oder in Form von Wärmestrahlung an die Umgebung abgegeben werden. In einfachen Modellen fasst man diese komplexen Vorgänge zu einer einzigen, empirisch zu bestimmenden Grösse, den Wärmeübergangskoeffizienten α, zusammen

[math]G_W = \alpha A[/math]

Der Wärmeübergangskoeffizient (Einheit W/(K m²) ist der Wärmeleitwert pro Fläche für diese Grenzschicht. Weil der strahlungsbedingte Wärmestrom nicht linear von der Temperaturdifferenz abhängt, wird dieser oft separat berechnet. Der Rest, der Wärmeübergangskoeffizient ohne Strahlung, hängt dann immer noch von den Strömungsverhältnissen, der Zusammensetzung der Gase und Flüssigkeiten sowie der Beschaffenheit des Festkörpers ab.

Wärmedurchgang

Fliesst die Wärme durch ein Mauerwerk oder ein Fenster mit Mehrfachverglasung, treten mehere Wärmeübergänge auf. Zudem ist die Wärmeleitung in den einzelnen Komponenten vom Material abhängig. Diese verschiedenen in Serie geschalteten Teilleitwerte lassen sich zu einem Gesamtleitwert zusammenfassen

[math]\frac {1}{G_W} = \sum_j\frac {1}{A \alpha_j} + \sum_i \frac {\Delta s_i}{A \lambda_i}[/math]

Mit der Einführung des Wärmedurchgangskoeffizienten U, des totalen Leitwertes pro Fläche

[math]U = \frac {G_W}{A}[/math]

vereinfacht sich die Formel für die Serischaltung auf

[math]\frac {1}{U} = \sum_j \frac {1}{\alpha_j} + \sum_i \frac {\Delta s_i}{\lambda_i}[/math]

Diese Beziehung gilt nur für prismenförmige Bauteile. Bei dickwandigen Rohren oder Kugeln rechnen man den Leitwert der einzelnen Komponenten aus und schaltet diese direkt mit den Leitwerten der Übergänge in Serie.