Erzwungene Kreisbewegung

Ein Körper, der sich auf einer Kreisbahn bewegt, muss mit der Umgebung andauernd Impuls austauschen, damit er die Kurve kriegt. Die Impulsänderungsrate entspricht der resultierenden Kraft auf den Körper. Die Normalkomponente dieser resultierenden Kraft zeigt gegen die Mitte des Kreises und ändert nur die Bewegungsrichtung des Körpers. Die Tangentialkomponente beeinflusst dagegen die Schnelligkeit.

Schüler und leider auch Studierende haben Mühe, die Kreisbewegung physikalisch zu verstehen. Als Ursache für diese Schwierigkeiten kommen mehrere Faktoren in Frage

• der Zusammenhang zwischen Kraft, Impuls und Energie wird nicht durchschaut
• die Kreisbewegung wird als nicht beschleunigt empfunden, weil die kinetische Energie erhalten bleibt
• der Begriff der Beschleunigung als Ableitung eines Vektors (der Geschwindigkeit) nach der Zeit ist zu abstrakt
• der Austausch von Impuls mit der Erde wird nicht als solcher wahrgenommen, weil keine Energie mit transportiert wird.

Modell

Systemdiagramm

Die Kreisbewegung dynamisch zu modellieren ist eine Alternative zum klassischen Weg über die Newtonschen Axiome mit Zentralkraft sowie Zentral- oder Normalbeschleunigung. Unser System bestehe aus einem Klotz, der sich an einem elastischen Seil um einen Pflock bewegt. Die Reibung in der Gleitschicht zwischen Klotz und Unterlage sowie in der Seilführung wird vernachlässigt. Das Seil verhalte sich wie eine ideale Feder, d.h. die Seilkraft nimmt linear mit der Dehnung, der Verlängerung gegenüber dem nicht gespannten Zustand, zu.

Das Systemdiagramm zeigt die Struktur des Modells mit den beiden Impulsbilanzen, sowie die kinematische Integration für die x- und die y-Richtung. Die Dehnung des Seils ist gleich der Differenz zwischen dem momentanen Radius (Abstand des Klotzes vom Nullpunkt) und der Länge des unbelasteten Seils. Die zugehörige Kraft muss danach in eine x- und eine y-Komponente zerlegt werden.

Simulation

drei verschiedene Bahnen

Die Anfanswerte der y-Koordinate und der x-Komponente der Geschwindigkeit können gleich Null gesetzt werden. Der Klotz erhält in y-Richtung eine Geschwindigkeit von 5 m/s. Die Graphik zeigt die Bahn des Klotzes für drei verschiedene Anfangswert der x-Koordinate. Die schwarze Kurve zeigt die Bahn bei einem Start mit nicht gespannter Feder (Abstand 0.5 m vom Zentrum). Bei der grünen Kurve ist die Feder anfänglich am stärksten gespannt. Eine Kreisbahn (rote Kurve) ergibt sich nur, wenn Federspannung, Masse, Abstand vom Zentrum sowie Anfangsgeschwindigkeit aufeinander abgestimmt sind. Und dies berechnen wir mit den Formeln, die in keinem Physikunterricht fehlen

[math]F_n=ma=\frac{mv^2}{l_0+x}=F_{Seil}=Dx[/math]

Die Dehnung des Seils wird hier mit x bezeichnet, die zugehörige Richtgrösse (Federkonstante) mit D. Die Auswertung dieser Gleichung liefert eine Dehnung von 0.0854 m und somit eine für die Kreisbahn notwendige Seillänge (im Modell als Federlänge bezeichnet) von 0.5854 m, was eine Zentralkraft von 85.4 N ergibt.

Startet man nicht optimal, führt der Körper in radiale Richtung eine Schwingung aus.