Lösung zu Ölfass u.a. als Speicher: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Bild:V_Wanne_2.png|thumb|Volumenberechnung für die V-förmige Wanne]][[Bild:Graph_von_V_Wanne.png|thumb|V/p-Diagramm einer V-förmigen Wanne]] Wir erhalten das ''V-p-''Diagramm, wenn wir Druck und Volumen in Abhängigkeit der momentanen Füllhöhe berechnen:
[[Bild:V_Wanne_2.png|thumb|Volumenberechnung für die V-förmige Wanne]][[Bild:Graph_von_V_Wanne.png|thumb|V/p-Diagramm einer V-förmigen Wanne]] Wir erhalten das ''V-p-''Diagramm, wenn wir Druck und Volumen in Abhängigkeit der momentanen Füllhöhe berechnen:


:<math>p = \rho * g * h, \quad V = \frac {1} {2} * A * h = V_0 *(\frac {h} {h_0})^2</math>
:<math>p = \rho \cdot g \cdot h, \quad V = \frac {1} {2} \cdot b \cdot h \cdot l_0 = V_0 \cdot(\frac {h} {h_0})^2,\\ weil \quad b / h = b_0 / h_0 \quad und \quad V_0 = \frac {1} {2} \cdot b \cdot h \cdot l_0</math>


A ist proportional zu h, deshalb ist V proportional zu h<sup>2</sup>.
b ist proportional zu h, deshalb ist V proportional zu h<sup>2</sup>.


Der Graph dieser Funktion ist eine nach oben geöffnete Parabelkurve durch den Nullpunkt (nichtlinearer Speicher)
Der Graph dieser Funktion ist eine nach oben geöffnete Parabelkurve durch den Nullpunkt (nichtlinearer Speicher)

Version vom 20. Oktober 2008, 08:57 Uhr

1. Ölfass

Ein Gefäss mit senkrechten Wänden ist ein linearer Speicher. Deshalb ist die Kapazität gleich

[math]C_V = \frac {A} {\rho * g} = \frac {V_0} {\rho * g * h_0} = 2 * 10^{-5} m^3/Pa [/math]

Der Druck gegen den Umgebungsdruck steigt während der Füllzeit tF = V0 / IV = 10 min linear von 0 auf 0.1 bar an.

Die Energie ist gleich

[math]W = \frac {V_{end}^2} {2 C_V} = 1000 J [/math]


2. V-förmiges Gefäss (Rinne)

Volumenberechnung für die V-förmige Wanne
V/p-Diagramm einer V-förmigen Wanne

Wir erhalten das V-p-Diagramm, wenn wir Druck und Volumen in Abhängigkeit der momentanen Füllhöhe berechnen:

[math]p = \rho \cdot g \cdot h, \quad V = \frac {1} {2} \cdot b \cdot h \cdot l_0 = V_0 \cdot(\frac {h} {h_0})^2,\\ weil \quad b / h = b_0 / h_0 \quad und \quad V_0 = \frac {1} {2} \cdot b \cdot h \cdot l_0[/math]

b ist proportional zu h, deshalb ist V proportional zu h2.

Der Graph dieser Funktion ist eine nach oben geöffnete Parabelkurve durch den Nullpunkt (nichtlinearer Speicher)

[math]V = V_0 * (\frac {p} {p_0})^2[/math]

Um den Druckverlauf p(t) zu erhalten, lösen wir die Funktion V(p) nach p auf und setzen für V den Ausdruck IV * t ein. Wir erhalten wieder eine Parabel, aber diesmal nach rechts geöffnet

[math]p = p_0 * \sqrt {\frac{I_v * t} {V_0}} = p_0 * \sqrt {\frac{t} {t_F}} [/math]

Die Energie berechnen wir im p-V-Diagramm, das ist das V-p-Diagramm von oben aber mit vertauschten Achsen: Hier erhalten wir auch eine nach rechts geöffnete Parabel: [math]p = p_0 * \sqrt {\frac{V} {V_0}}[/math]

Die Fläche unter der Kurve approximieren wir mit 2 gleich breiten "Pommes Frites". Dafür brauchen wir den Druck bei halbem Volumen: p50 = 7.1 kPa. Die mittleren Drucke beider Pommes Frites betragen dann 3.5 kPa, bzw. 8.5 kPa. Nun können wir die Fläche der Pommes berechnen:

W = 3.5 kPa * 0.1 m3 + 8.5 kPa * 0.1 m3 = 1200 J.


Aufgabe