Lösung zu Ölfass u.a. als Speicher

1. Ölfass

Ein Gefäss mit senkrechten Wänden ist ein linearer Speicher. Deshalb ist die Kapazität gleich

[math]C_V = \frac {\Delta V} {\Delta p} = \frac {V_0} {\rho * g * h_0} = \frac {0.2 m^3} {1000 kg/m^3 * 9.81 N/kg * 1 m} = 2.04 * 10^{-5} m^3/Pa [/math]

Der Druck (Überdruck relativ zum Umgebungsdruck) steigt während der Füllzeit t_F = V₀ / I_V = 10 min linear von 0 auf 0.098 bar an.

Die Energie ist gleich

[math]W = \frac {V_0^2} {2 C_V} = 980 J [/math]

2. V-förmiges Gefäss (Rinne)

Wir erhalten das V(p)-Diagramm, wenn wir Druck und Volumen in Abhängigkeit der momentanen Füllhöhe berechnen:

[math] p = \rho \cdot g \cdot h, \quad V = \frac {1} {2} \cdot b \cdot h \cdot l_0 [/math]

Die Dreiecke auf einer Seitenwand sind zueinander ähnlich. Deshalb gilt:

[math] \quad b / h = b_0 / h_0, \quad b = b_0 \cdot \frac {h} {h_0} [/math]

Wir setzen dies in die Formel für V ein und erweitern den Quotienten mit h₀:

[math] V = \frac {1} {2} \cdot b_0 \cdot \frac {h} {h_0} \cdot h \cdot l_0 = \frac {1} {2} \cdot b_0 \cdot \frac {h \cdot h_0 } {h_0^2} \cdot h \cdot l_0 = \frac {1} {2} \cdot b_0 \cdot h_0 \cdot l_0 \cdot \frac {h^2 } {h_0^2} [/math]

Mit

[math] V_0 = \frac {1} {2} \cdot b_0 \cdot h_0 \cdot l_0 \quad [/math]

erhalten wir

[math] V = V_0 \cdot(\frac {h} {h_0})^2[/math]

b ist proportional zu h, deshalb ist V proportional zu h² und auch zu p², weil ja p proportional zu h ist. Der Graph dieser Funktion ist eine nach oben geöffnete Parabelkurve durch den Nullpunkt (nichtlinearer Speicher), wobei p₀ = 9.81 kPa der Druck für das volle Gefäss ist:

[math]V = V_0 * (\frac {p} {p_0})^2[/math]

Um den Druckverlauf p(t) zu erhalten, lösen wir die Funktion V(p) nach p auf und setzen für V den Ausdruck I_V * t ein. Hier ist ja I_V konstant, deshalb nimmt das Volumen linear in der Zeit zu. Wir erhalten wieder eine Parabel, aber diesmal nach rechts geöffnet:

[math]p = p_0 * \sqrt {\frac{I_v * t} {V_0}} = p_0 * \sqrt {\frac{t} {t_F}} = 9.81 kPa * \sqrt {\frac{t} {600 s}} [/math]

Für die Berechnung der Energie brauchen wir das p(V)-Diagramm, also ein Diagramm mit dem Druck als Funktion des Volumens. Dazu vertauschen wir die Achsen des V(p)-Diagramms von oben: Wir erhalten hier auch eine Parabel, sie ist auch nach rechts geöffnet: [math]p = p_0 * \sqrt {\frac{V} {V_0}}[/math]. Die Fläche unter der Kurve approximieren wir mit 2 gleich breiten "Pommes Frites". Dafür brauchen wir den Druck bei halbem Volumen: p₅₀ = 6.94 kPa. Die mittleren Drucke beider Pommes Frites betragen dann:

für das erste (0 + 6.94 kPa)/2 = 3.5 kPa,

für das zweite (6.94 kPa + 9.81 kPa)/2 = 8.4 kPa.

Nun können wir die Fläche der Pommes berechnen:

W = 3.5 kPa * 0.1 m3 + 8.4 kPa * 0.1 m3 = 1.2 kJ.

Bei der Berechnung der Energie könnte man auch direkt das V(p)-Diagramm verwenden. Man müsste aber die Fläche rechts von der Kurve berechnen.

Aufgabe