Lösung zu Fahrzeug mit drei Klötzen: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 25. November 2008, 10:22 Uhr

Zwei reibungsfrei gelagerte Körper bewegen sich nach der Zufuhr einer gegebenen Energiemenge voneinander weg. Dieses Problem soll nun zuerst rein algebraisch gelöst werden. Danach ist die Lösung der Aufgabe keine Hexerei mehr.

Anfänglich bewegen sich beide Körper mit der gleichen Geschwindigkeit in eine Richtung. Mit der zugeführten Energie wird nun Impuls aus dem ersten Körper in den zweiten gepumpt, womit die Geschwindigkeit des ersten um v_r1 kleiner und die des zweiten um v_r2 grösser wird. Der Index r steht für relativ zur ursprünglichen Geschwindigkeit. Der Impuls bleibt erhalten und die zugeführte Energie ist gleich geförderter Impuls mal mittlere "Hubhöhe"

[math]m_1v_{r1}=m_2 v_{r2}[/math]

[math]W=\Delta p\overline{\Delta v}=m_1v_{r1}\frac{v_{r1}+v_{r2}}{2}=\frac{m_1}{2}v_{r1}^2\left(1+\frac{m_1}{m_2}\right)[/math]

Die Relativgeschwindigkeit ist hier für beide Körper als positiv angenommen worden. Diese Annahme stützt sich auf das Flüssigkeitsbild. Orientiert man sich an diesem Bild, macht man kaum je einen Vorzeichenfehler. In der zweiten Umformung ist die Relativgeschwindigkeit des zweiten Körpers mit Hilfe der Impulserhaltung in die des ersten umgerechnet worden. Löst man nach der Geschwindigkeit des ersten Körpers auf, folgt die allgemeine Formel

[math]v_{r1} = \sqrt{\frac{2W}{m_1(1+ \frac {m_1}{m_2})}}[/math]

Verfügen die Körper über gleich viel Masse, wird die Energie symmetrisch auf beide verteilt. Ansonsten nimmt der leichter Körper mehr Energie mit. Im Extremfall, wenn es sich beim zweiten Körper um die Erde handelt, übernimmt der erste Körper die ganze Energie. Dann heisst die von diesem Körper zusammen mit dem Impuls transportierte Energie kinetisch.

miteinander

Werden die drei Klötze miteinander weggeschleudert, verteilt sich die Energie gleichmässig auf Klötze und Luftkissenfahrzeug. Die oben hergeleitete Formel liefert dafür die folgende Relativgeschwindigkeit

[math]v_r = \sqrt{\frac {W}{m}}[/math] = 2.83 m/s

Das Luftkissenfahrzeug bewegt sich danach um diesen Betrag schneller, also mit mit 5.83 m/s nach rechts.

nacheinander

Die zweite Problemstellung ist analog, aber in drei Schritten zu lösen. Zudem ist zwischen der Relativgeschwindigkeit des Fahrzeuges und derjenigen des Klotzes zu unterscheiden. Bei jedem Wurf nimmt die Geschwindigkeit des Fahrzeuges gemäss der oben abgeleiteten Formel um den folgenden Beitrag zu

[math]v_{rF} = \sqrt{\frac{2W}{m_F(1+ \frac {m_F}{m_K})}}[/math]

Setzt man für die Masse des Fahrzeuges nacheinander 2.5 kg, 2 kg und 1.5 kg ein erhält man für das Luftkissenfahrzeug die folgende Zunhame der Geschwindigkeit 0.73 m/s, 0.894 m/s und 1.154 m/s. Die Endgeschwindigkeit beträgt demnach 5.78 m/s.

Drei Klötze gleichzeit fortwerfen bringt bei gleicher Energie eine höhrere Geschwindigkeit als ein gestaffelter Abwurf, weil der zweite und dritte Klotz zuerst mit dem Wagen und danach gegen ihn beschleunigt werden muss. Doch genau dieses Handicap besitzt der Raketenantrieb, geht doch ein grosser Teil des Brennstoffes mit der Rakete weg, befor er nach hinten weggeblasen wird. Gegen Brennschluss bewegt sich das Gas sogar langsamer aus der Düse, als sich die Rakete nach oben bewegt.

Aufgabe

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+Zwei reibungsfrei gelagerte Körper bewegen sich nach der Zufuhr einer gegebenen Energiemenge voneinander weg. Dieses Problem soll nun zuerst rein algebraisch gelöst werden. Danach ist die Lösung der Aufgabe keine Hexerei mehr.
-*Die erste Problemstellung ist recht einfach zu lösen. Die drei Klötze haben gesamthaft die gleiche Masse wie das Fahrzeug. Die Geschwindigkeit der drei Klötze nimmt um soviel ab, wie die Geschwindigkeit des Fahrzeuges zunimmt. Nennen wir diese Geschwindigkeitsänderung ''v<sub>r</sub>''.
-*Die aufzuwendende Energie ist gleich zu fördernder Impuls mal "Förderhöhe". Somit gilt
+Anfänglich bewegen sich beide Körper mit der gleichen Geschwindigkeit in eine Richtung. Mit der zugeführten Energie wird nun Impuls aus dem ersten Körper in den zweiten gepumpt, womit die Geschwindigkeit des ersten um ''v<sub>r1</sub>'' kleiner und die des zweiten um ''v<sub>r2</sub>'' grösser wird. Der Index ''r'' steht für relativ zur ursprünglichen Geschwindigkeit. Der Impuls bleibt erhalten und die zugeführte Energie ist gleich geförderter Impuls mal mittlere "Hubhöhe"
-:<math>W = \Delta p v_{mittel} = m v_r^2</math>
-*Die Geschwindigkeitsänderung ist damit gleich
+:<math>m_1v_{r1}=m_2 v_{r2}</math>
+:<math>W=\Delta p\overline{\Delta v}=m_1v_{r1}\frac{v_{r1}+v_{r2}}{2}=\frac{m_1}{2}v_{r1}^2\left(1+\frac{m_1}{m_2}\right)</math>
+Die Relativgeschwindigkeit ist hier für beide Körper als positiv angenommen worden. Diese Annahme stützt sich auf das [[Flüssigkeitsbild]]. Orientiert man sich an diesem Bild, macht man kaum je einen Vorzeichenfehler. In der zweiten Umformung ist die Relativgeschwindigkeit des zweiten Körpers mit Hilfe der Impulserhaltung in die des ersten umgerechnet worden. Löst man nach der Geschwindigkeit des ersten Körpers auf, folgt die allgemeine Formel
+:<math>v_{r1} = \sqrt{\frac{2W}{m_1(1+ \frac {m_1}{m_2})}}</math>
+Verfügen die Körper über gleich viel Masse, wird die Energie symmetrisch auf beide verteilt. Ansonsten nimmt der leichter Körper mehr Energie mit. Im Extremfall, wenn es sich beim zweiten Körper um die Erde handelt, übernimmt der erste Körper die ganze Energie. Dann heisst die von diesem Körper zusammen mit dem Impuls transportierte Energie kinetisch.
+==miteinander==
+Werden die drei Klötze miteinander weggeschleudert, verteilt sich die Energie gleichmässig auf Klötze und Luftkissenfahrzeug. Die oben hergeleitete Formel liefert dafür die folgende Relativgeschwindigkeit
 :<math>v_r = \sqrt{\frac {W}{m}}</math> = 2.83 m/s
-*Das Fahrzeug bewegt sich nach dem Abwurf mit 5.83 m/s nach rechts.
+Das Luftkissenfahrzeug bewegt sich danach um diesen Betrag schneller, also mit mit 5.83 m/s nach rechts.
-*Die zweite Problemstellung ist analog, aber in drei Schritten zu lösen. Zudem ist zwischen der Relativgeschwindigkeit des Fahrzeuges und derjenigen des Klotzes zu unterscheiden.
-*Die aufzuwendende Energie ist gleich zu fördernder Impuls mal "Förderhöhe"
+==nacheinander==
-:<math>W = \Delta p \Delta v_{mittel} = m_F v_{rF} \Delta v_{mittel} = m_F v_{rF} \frac{v_{rF}}{2}(1 + \frac {m_F}{m_K}) = \frac {m_F}{2} (1 + \frac {m_F}{m_K}) v_{rF}^2</math>
-*Bei jedem Wurf nimmt die Geschwindigkeit des Fahrzeuges um den folgenden Beitrag zu
+Die zweite Problemstellung ist analog, aber in drei Schritten zu lösen. Zudem ist zwischen der Relativgeschwindigkeit des Fahrzeuges und derjenigen des Klotzes zu unterscheiden. Bei jedem Wurf nimmt die Geschwindigkeit des Fahrzeuges gemäss der oben abgeleiteten Formel um den folgenden Beitrag zu
 :<math>v_{rF} = \sqrt{\frac{2W}{m_F(1+ \frac {m_F}{m_K})}}</math>
-*Setzt man für die Masse des Fahrzeuges nacheinander 2.5 kg, 2 kg und 1.5 kg ein erhält man 0.73 m/s, 0.894 m/s und 1.154 m/s als Relativgeschwindigkeiten. Die Endgeschwindigkeit beträgt demnach 5.78 m/s.
+Setzt man für die Masse des Fahrzeuges nacheinander 2.5 kg, 2 kg und 1.5 kg ein erhält man für das Luftkissenfahrzeug die folgende Zunhame der Geschwindigkeit 0.73 m/s, 0.894 m/s und 1.154 m/s. Die Endgeschwindigkeit beträgt demnach 5.78 m/s.
+Drei Klötze gleichzeit fortwerfen bringt bei gleicher Energie eine höhrere Geschwindigkeit als ein gestaffelter Abwurf, weil der zweite und dritte Klotz zuerst mit dem Wagen und danach gegen ihn beschleunigt werden muss. Doch genau dieses Handicap besitzt der Raketenantrieb, geht doch ein grosser Teil des Brennstoffes mit der Rakete weg, befor er nach hinten weggeblasen wird. Gegen Brennschluss bewegt sich das Gas sogar langsamer aus der Düse, als sich die [[Rakete]] nach oben bewegt.
 '''[[Fahrzeug mit drei Klötzen|Aufgabe]]'''