Energie-Impuls-Tensor

Der Energie-Impuls-Tensor beschreibt die Dichte (erste Spalte) und die Stromdichte (restlichen drei Spalten) der Energie und des Impulses:

[math]\left(T^{\alpha\beta}\right)=\begin{pmatrix}\varrho_W & \frac{j_{W_x}}{c} & \frac{j_{W_y}}{c} & \frac{j_{W_z}}{c}\\ c\varrho_{p_x} & j_{p_{xx}} & j_{p_{xy}} & j_{p_{xz}} \\ c\varrho_{p_y} & j_{p_{yx}} & j_{p_{yy}} & j_{p_{yz}} \\ c\varrho_{p_z} & j_{p_{zx}} & j_{p_{zy}} & j_{p_{zz}} \end{pmatrix}[/math]

• [math]T^{00}=\varrho_W[/math] ist die Energiedichte (Energie pro Volumen)
• [math]cT^{0j}=(j_{W_x},j_{W_y},j_{W_z})[/math] ist eine Energiestromdichte (Energiestromstärke pro Fläche)
• [math]c^{-1}T^{i0}=(\varrho_{p_y},\varrho_{p_y},\varrho_{p_y})^T[/math] ist die Impulsdichte (Impuls pro Volumen)
• [math]T^{ij}=j_{p_{ij}}[/math] ist die Impulsstromdichte (Impulsstromstärke pro Fläche)
• [math]c[/math] die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

Der Impuls-Energie-Tensor ist symmetrisch, kann somit lokal in eine Diagonalform transformiert werden. Die Energiestromdichte ist deshalb gleich der Impulsdichte mal das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit. Jede Zeil des Energie-Impuls-Tensors beschreibt eine bilanzierfähige Erhaltungsgrösse

[math]T^{\alpha\beta}_{,\beta}[/math]

wobei die erste Zeile die Energie-Massen-Erhaltung und die drei letzten die Impulserhaltung umfassen.

Festkörper

Im ruhenden Festkörper nimmt der Energie-Impuls-Tensor die folgende Form an

[math]\left(T^{\alpha\beta}\right)=\begin{pmatrix}c^2\varrho & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\sigma_{xx} & -\sigma_{xy} & -\sigma_{xz} \\ 0 & -\sigma_{yx} & -\sigma_{yy} & -\sigma_{yz} \\ 0 & -\sigma_{zx} & -\sigma_{zy} & -\sigma_{zz} \end{pmatrix}[/math]

Der Zeit-Zeit-Teil beschreibt die Dichte mal die Lichtgeschwindigkeit im Quadrat und der Raum-Raum-Teil ist gleich dem negativen Spannungstensor.

Wendet man nun eine spezielle Lorentz-Transformation (Transformation der Zeit- und x-Achse) auf den Energie-Impulstensor an, folgt für [math]\alpha,\beta=0,1[/math]

[math]\left(T^{\alpha\beta}\right)=\frac{c^2}{c^2-v_x^2}\begin{pmatrix}(c^2+v_x^2)\varrho-\sigma_{xx}\frac{v_x^2}{c^2} & \left(c\varrho-\frac{\sigma_{xx}}{c}\right)v_x\\ \left(c\varrho-\frac{\sigma_{xx}}{c}\right)v_x & \varrho v_x^2-\sigma_{xx}\left(1+\frac{v_x^2}{c^2}\right)\end{pmatrix}[/math]

In der nichtrelativistischen Physik wird der erste Term des nichtdiagonalen Elementes [math]\varrho v_x[/math] entweder als Massenstromdichte (rechts oben) oder als Impulsdichte gelesen. Der zweite Term ist die Energiestromdichte, die über einen Querschnitt integriert als zugeordneter Energiestrom bezeichnet wird. Im zweiten Diagonalelement kommt zur leitungsartigen Impulsstromdichte (Element des Spannungstensors) noch eine konvektive [math]\varrho v_x^2[/math]dazu.