Lösung zu Kühlen von Wasser

Antwort 1

Die pro Kilogramm abgegebene Wärmeenergie ist gleich der Änderung der spezifischen Enthalpie des Wassers

[math]\Delta h = c (T_s - T_v) - q[/math] = 4.19 kJ/kg/K * (273 K - 373 K) - 334 kJ/kg = -753 kJ/kg

Die Wärmepumpe transportiert diese Energie zusammen mit der spezifischen Entropie [math]s = \frac {-\Delta h}{T_K}[/math] = 3.10 kJ / (kg K) reversibel von der tiefen Temperatur T_K = 243 K auf die hohe Temperatur T_W = 323 K. Dafür muss die Pumpe mindestens eine spezifische Energie W_WP aufwenden:

W_WP = (T_W - T_K) * s = 248 kJ/kg.

Antwort 2

Eine solche Maschine müsste zuerst als reversible Wärmekraftmaschine (WKM) zwischen Wasser als Wärmereservoir der hohen Temperatur und der Umgebung als Reservoir der tiefen Temperatur arbeiten und dabei das Wasser bis zur Umgebungstemperatur abkühlen. Anschliessend müsste sie als reversible Wärmepumpe (WP) zwischen dem Wasser als tiefem Reservoir und der Umgebung als hohem Reservoir arbeiten und dabei das Wasser weiter bis zum Gefrierpunkt abkühlen und zusätzlich noch gefrieren.

Im ersten Teil des Prozesses kühlt die Maschine als WKM das Wasser von 373 K auf die Umgebungstemperatur von 298 K ab. Dabei wird eine spezifische Entropie s₁ vom Wasser in die Umgebung transportiert, die der spezifischen Entropieabnahme Δs₁ des Wassers entspricht:

s₁ = - Δs₁ = - 4.19 kJ/kg/K * ln(298 K / 373 K) = 0.941 kJ/kg/K.

Die dabei als Arbeit freigesetzte Energie w₁ entspricht der Differenz zwischen der dem Wasser entnommenen und der der Umgebung zugeführten Energie. Die freigesetzte spezifische Energie w₁ ist demnach gleich

w₁ = - Δh₁ - s₁ * T_U = - 4.19 kJ/kg/K * (298 K - 373 K) - 0.941 kJ/kg/K * 298 K = 314 kJ/kg - 280 kJ/kg = 34 kJ/kg.

Diese Energie müsste man in einem zusätzlichen Speicher zwischenspeichern können.

Mit dieser gespeicherten Energie pumpt die Maschine im zweiten Teil des Prozesses als reversible WP eine spez. Entropie

s₂ = -Δs₂ = - (4.19 kJ/kg/K * ln(273 K / 298 K) - 334 kJ/kg / 273 K) = 1.59 kJ/K/kg

vom zu kühlenden Wasser auf die Umgebungstemperatur hoch. Dafür braucht sie aus dem Zwischenspeicher eine Energie, die der Differenz zwischen der an die Umgebung abgegebenen und der dem Wasser entzogenen Energie entspricht. Diese spez. Energie beträgt

w₂ = 298 K * 1.59 kJ/K/kg - (4.19 kJ/kg/K * (298 K - 273 K) + 334 kJ/kg) = 474 kJ/kg - (105 + 334) kJ/kg = 35 kJ/kg.

Das ist nur wenig mehr, als im ersten Prozessteil zwischengespeichert wurde.

Wenn man den Prozess als Ganzes anschaut, nimmt die spezifische Entropie des Wassers um

[math]\Delta s = c \ln(T_s/T_v) - q/T_s[/math] = 4.19 kJ/kg/k * ln(273 K / 373 K) - 334 kJ/kg / 273 K = - 2.53 kJ/kg/K

ab. Weil beide Prozessteile reversibel sind, transportiert die Entropie deshalb eine spezifische Energie

w_u = T_u * -Δs = 298 K * 2.53 kJ/kg/K = 754 kJ/kg

Energie in die Umgebung.

Vergleicht man diesen Wert mit der Änderung der spezifischen Enthalpie (siehe Teilaufgabe 1), ist kaum ein Unterschied auszumachen. Die Maschine arbeitet zuerst als Wärmekraftmaschine, bis das siedende Wasser auf 25°C abgekühlt ist. Danach muss sie die Wärme pumpen, bis alles Wasser gefroren ist. Die im ersten Teilprozess freigesetzte Energie entspricht in etwa der für den zweiten Teilprozess aufzuwendenden Energie. Deshalb ist der totale, reversibel geführte Prozess von der umgesetzten Energie her gesehen ziemlich neutral.

Wir beurteilen die Energie, die wir zum Heizen und Kühlen benötigen, eher im Sinne der zweiten Prozessführung. Um einen Körper wärmer oder kälter als die Umgebung zu machen, müssen wir Energie aufwenden. Kalte und heisse Milch, die auf den Küchentisch gestellt werden, nehmen dann von selbst die Temperatur der Umgebung an. Weil unsere Maschinen nicht ideal arbeiten und weil wir die Entropie zum Heizen meistens erzeugen statt pumpen, sind für uns Heizen und Kühlen nicht unbedingt symmetrische verlaufende Prozesse. In den Schulen wird die zum irreversiblen Erwärmen der Milch notwendige Energie oft im Physikunterricht berechnet. Die Frage nach dem Energieaufwand zum Kühlen der Milch scheint die meisten Physiklehrer dagegen kalt zu lassen.

Aufgabe