Rotierendes Bezugssystem

Phänomene

Nimmt man einen Kinderballon auf eine abendliche Busfahrt mit, stellt man in jeder Kurve fest, dass die müden Köpfe der Passagiere die Tendenz haben, gegen aussen zu kippen, der Ballon sich aber wie ein Motorradfahrer in die Kurve legt. Selber spürt man eine "Kraft", die einem vom Kurvenzentrum weg nach aussen drückt.

Rotiert ein grosses, mit Wasser gefülltes Glas um die eigene Achse, steigt der Wasserpiegel am Rand hoch. Bei gleichförmiger Rotation bildet die Wasseroberfläche ein Paraboloid.

Auf der Nordhalbkugel unserer Erde drehen sich die Hochdruckgebiete immer im Uhrzeigersinn und die Tiefdruckgebiete wirbeln in die andere Richtung. Auf der südlichen Hemisphäre sind die Verhältnise gerade umgekehrt.

Theorie

Üblicherweise versteht man in der Physik unter einem Bezugssystem ein reines Referenz- oder Koordinatensystem, auf das der Ort und die Orientierung eines Körpers bezogen wird. Als eigentliches Beobachtunssystem kommt aber nur ein materieller Körper wie ein Bahnwagen, ein Lift, ein Bus oder ein Himmelkörper in Frage. Materielle Bezugssysteme können beliebig viel Impuls und Drehimpuls aufnehmen, ohne ihr Bewegungsverhalten merklich zu ändern.

Aus kinematischer Sicht darf die Bewegung eines Körpers von jedem Koordinatensystem aus beschrieben werden. Um Physik im Sinne von Experimente durchführen zu betreiben, benötigt man aber ein materielles Bezugssystem.

Geschwindigkeit und Beschleunigung

Die Geschwindigkeit eines Punktes kann in eine Geschwindigkeit relativ zum rotierenden System und in die Geschwindigkeit des Ortes auf dem rotierenden System relativ zum Ruhesystem zerlegt werden

[math]\vec v = \vec v_S + \vec \omega \times \vec r_S[/math]

Der Index S weistdarauf hin, dass sich diese Grösse auf das rotierende Sysem bezieht. Der Ortsvektor r, nicht aber seine Komponentendarstellung, sieht in beiden Systemen gleich aus.

Die Beschleunigung kann auf ähnliche Art und Weise zerlegt werden

[math]\dot {\vec v} = \dot {\vec v_S} + 2 (\vec \omega \times \vec v_S) + \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r_S)[/math]

Impulsbilanz

Die Impulsbilanz bezüglich eines kleinen Körpers kann zusammen mit dem Kapzitivgesetz zum Newtonschen Aktionsprinzip verschmolzen werden

[math]\sum_i \vec F_i + \vec F_G = m \dot {\vec v}[/math]

Nun ist die (träge) Masse nicht nur Impulskapazität sondern als schwere Masse auch noch Teil der Impulsquelle. Die an der Oberfläche eines Körpers direkt messbaren Impulsströme, die Oberflächenkrafte F_i, sind über die Impulsbilanz mit der Beschleunigung und mit der Gravitationsfeldstärke verknüpft.

[math]\sum_i \vec F_i + m \vec g = m \dot {\vec v}[/math]

Weil in beiden Termen die Masse als Faktor vorkommt (die schwere Masse ist gemäss des Äquivalenzprinzips von Einstein durch kein Experiment von der trägen zu unterscheiden), sind Gravitationsfeldstärke und Beschleunigung des Körpers eine Frage des Bezugssystems, also Ansichtssache. Im SI werden denn auch beide Grössen mit der gleichen Einheit gemessen.

Veralllgemeinerte Gravitation

Eretzt man in der Impulsbilanz, im Aktionsprinzip von Newton, die Beschleunigung durch die weiter oben eingeführte Zerlegung bezüglich des rotierenden Bezugssystems und addiert alle Terme ausser der Relativbeschleunigung von der Inhalts- auf die Stromseite, erhält man die Impulsbilanz oder das Aktionsprinzip relativ zum rotierenden Bezugssystem

[math]\sum_i \vec F_i + m [\vec g - 2 (\vec \omega \times \vec v_S) - \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r_S)] = m \dot {\vec v}[/math]

Der Ausdruck in der rechteckigen Klammer steht für die Gravitationsfeldstärke bezüglich des rotierenden Systems. Diese Gravitationsfeldstärke weist einen statischen und einen dynamischen Teil auf

statischer Teil: [math]\vec g_s = \vec g + (\vec \omega \times \vec r_S) \times \vec \omega[/math]

dynamischer Teil: [math]\vec g_s = 2 (\vec v_S \times \vec \omega)[/math]

Der statische Teil besteht aus der auch im Ruhesystem festzustellenden Gravitationsfeldstärke plus dem Beitrag des Zentrifugalfeldes. Der dynamische Teil ist für die Corioliskraft verantwortlich.

Zentrifugalkraft

Als Zentrifugalkraft bezeichnet man den Anteil der Gewichtskraft, der auf einem rotierenden Bezugssystem zusätzlich einzuführen ist, damit die Mechanik wie in einem Inertialsystem formuliert werden kann

[math]\vec F_Z = m (\vec \omega \times \vec r_S) \times \vec \omega))[/math]

Die ortsabhängige Zentrifugalkraft ist gleich F_Z = m ω² r, zeigt vom Zentrum des rotierenden Systems weg und nimmt linear mit dem Abstand zu.

Corioliskraft

Neben der Zentrifugalkraft muss auf dem rotierenden Bezugssystem noch eine geschwindigkeitsabhängige Corioliskraft eingeführt werden

[math]\vec F_C = 2 m (\vec v_S \times \vec \omega)[/math]

Die Corioliskraft ist proportional zur Geschwindigkeit im rotierenden System und proportional zur Winkelgeschwindigkeit des Systems. Zudem steht sie normal zu diesen beiden Grössen.

Potenzial des Zentrifugalfeldes

Das Zentrifugalfeld ist wirbelfrei. Folglich besitzt es ein Potenzial

[math]\varphi_Z = -\frac {\omega^2 r^2} {2}[/math]

Das Potenzial ist immer kleiner Null, sobald es auf das Zentrum des rotierenden Systems bezogen wird.

Beispiele

rotierendes Wasserglas

Lässt man einen teilweise mit Wasser gefüllten Zylinder um eine vertikale Achse rotieren, wird der Wasserspiegel aussen angehoben und in der Mitte abgesenkt. Dieses Phänomen kann im mitrotierenden System einfach erklärt werden. Die Oberfläche von ruhendem Wasser verläuft entlang einer Äquipotenzialfläche, einer Fläche mit gleichem Gravitationspotenzial. Das Potenzial im rotierenden Wasserglas setzt sich aus dem homogenen Feld des Laborsystems und dem Zentrifugalpotential des rotierenden Systems zusammen

[math]\varphi_{GS} = \varphi_G + \varphi_Z = g h - \frac {\omega^2 r^2} {2}[/math]

Setzt man nun das Gesamtpotenzial gleich Null, bekommt man die Form der Wasseroberfläche

[math]h = \frac {\omega^2} {2 g} r^2[/math]

Der Wasserspiegel nimmt die Form eines Paraboloids an.

Karussell

Ein Karussell bildet ein rotierendes System. Weil die Achse vertikal steht, überlagert sich das nach unten weisende Gravitationsfeld des Laborsystems und das Zentrifugalfeld zu einem Gesamtfeld mit der Feldstärke

[math]\vec g_S = \vec g + \vec g_Z = \vec g + \omega^2 \vec r[/math]

und einem Potenzial, das einfach beschrieben werden kann

[math]\varphi_{GS} = \varphi_G + \varphi_Z = g h - \frac {\omega^2 r^2} {2}[/math]

Viele Pflanzen verfügen über ein hormonelles Rückkopplungssystem, das man negativen Geotropismus nennt. Der negative Geotropismus lässt diese Pflanzen immer gegen das lokal nachweisbare Gravitationsfeld wachsen. Sät man also auf dem rotierenden Karussell Getreide an, wachsen die Halme nur in der Mitte nach oben. Weiter aussen legen sie sich förmlich in die Kurve.

Neben dem statischen Teil der verallgemeinerten Gravitationskraft tritt noch die Corioliskraft auf. Weil die Winkelgeschwindigkeit noch oben weist, wirkt die Corioliskraft in der Karussellebene in alle Richtungen gleich stark. Bewegt sich ein Körper radial, sorgt die Corioliskraft für eine Ablenkung. Bewegt er sich tangential, zeigt die Corioliskraft entweder nach aussen oder nach innen, überlagert sich also mit der Zentrifugalkraft und ihre Wirkung kann nicht als eigenständiges Phänomen studiert werden.

Vater-Sohn-Problematik

Die Frage, wann man eine Zentrifugalkraft einführen muss und wann nicht, kann sehr schön anhand der Vater-Sohn-Problematik dargelegt werden. Bei diesem Beispiel steht der Vater neben und sein Sohn auf einem rotierenden Karussell. Sowohl der Vater als auch der Sohn können nun als Beobachter (Subjekt) oder als Körper (Objekt) genommen werden.

Versetzen wir uns zuerst in die Situation des Vaters. Er sieht, wie sein Sohn im Abstand r von der Karussellachse auf einer Kreisbahn umläuft. Die Umlaufzeit ist durch das Karussell gegeben

[math]a = \frac {v^2} {r} = \omega^2 r = \frac {4\pi^2} {T^2} r[/math]

Die resultierende Kraft auf den Sohn, die auf die Karussellachse zu zeigt, setzt sich aus der Wirkung vom Karussell und der Gewichtskraft zusammen. Der Vater darf nun behaupten, dass die Normalkraft die Gewichtskraft kompensiert und die Haftreibung den Sohn auf eine Kreisbahn zwingt.

Der Sohn sieht seine eigene Situation ein wenig anders. Aus seiner Sicht ist er im Gleichgewicht. Der im Prinzip direkt messbaren Haftreibunskraft setzt er die auf dem Karussell linear nach aussen wachsende Zentrifugalkraft entgegen. Er erklärt also das eigene Gleichgewicht mit dem Zusammenspiel von Haftreibungs- und Zentrifugalkraft. Schwieriger wird die Sache, wenn der Sohn die Bewegung seines Vaters erklären muss. Vom Karussell aus gesehen kreist der Vater auf dem Radius R mit der Umlaufszeit des Karussells. Wohl hat die auf dem Karussell vorhandene Zentrifugalkraft die richtige Stärke, um die Zentral- oder Normalbeschleunigung des Vaters zu erklären. Leider zeigt die Zentrifugalkraft in die falsche Richtung. Erst die Corioliskraft, die in diesem Fall doppelt so stark wie die Zentrifugalkraft ist, vervollständigt die Analyse.

Radial auf den Vater einwirkenden Kräfte (positives Vorzeichen nach innen)

[math]F_{rad} = -F_Z + F_C = -m \omega^2 R + 2m v_S \omega[/math]

mit [math]v_S = \omega R[/math] folgt

[math]F_{rad} = m \omega^2 R[/math]

Für die Beschleunigung des Vaters vom Karrussel aus gesehen gilt

[math]a = \frac {v^2_S} {R} = \omega^2 R[/math]

Die radiale Kraft auf den kreisenden Vater, die sich aus der nach aussen gerichteten Zentrifugalkraft und der nach innen weisenden Corioliskraft zusammensetzt, verursacht die Beschleunigung des Vaters. Dies gilt natürlich nur für die Sicht des Sohnes.

Für den Vater gibt es keine Zentrifugalkraft. Der Sohn muss dagegen in jedem Fall eine Zentrifugalkraft einführen. Vater und Sohn können also nur miteinander diskutieren, wenn jeder die Sicht des andern auch versteht.