Lösung zu Rakete im Gravitationsfeld

Die eindimensionale Impulsbilanz für offene Systeme, welche die Summe über alle leitungsartigen und konvektiven Impulsströme zusammen mit der gravitativen Impulsquelle gleich der Änderungsrate des Impulsinhaltes setzt, kann etwas konkreter formuliert werden, indem man

• die Stärken der leitungsartigen Impulsströme als Kräfte bezeichnet,
• die konvektiven Impulsströme durch Massenstromstärke mal zugehörige Ausströmgeschwindigkeit ersetzt,
• die gravitative Impulsquelle als Masse mal Gravitationsfeldstärke schreibt,
• den Impulsinhalt durch das kapazitive Gesetz der Translationsmechanik (Impulsinhalt gleich Masse mal Geschwindigkeit) ausdrückt:

[math]\sum_i F_i + \sum_i v_i I_{mi} + m g = \dot p = \dot m v + m \dot v[/math]

Analog dazu kann eine Massenbilanz formuliert werden

[math]\sum_i I_{mi} = \dot m[/math]

Im vorliegenden Beispiel mit der Rakete gibt es keine Oberflächenkräfte und nur einen einzigen Massenstrom. Die Geschwindigkeit des ausströmenden Gases ist gleich Geschwindigkeit der Rakete (v) minus Relativgeschwindigkeit des ausströmenden Gases (c). Die Impulsbilanz nimmt deshalb eine einfachere Form an

[math]m g + (v - c) I_m = \dot p = \dot m v + m \dot v[/math]

Setzt man für die Gravitationsfeldstärke - 9 N/kg ein, erhält man eine Impulsänderungsrate von

25000 kg * (-9 N/kg) + 1300 m/s * (-200 kg/s) = -485 kN

Der Impuls der Rakete nimmt ab, weil das Gravitationsfeldes Impuls absaugt und das ausströmende Gas Impuls mitnimmt.

Setzt man die Massenbilanz

[math]I_m = \dot m[/math]

in die Impulsbilanz ein, erhält man eine sehr kompakte Formel, die an das Grundgesetz der Mechanik erinnert

[math]m g - c I_m = m \dot v[/math]

Daraus lässt sich die Beschleunigung ermitteln

[math]\dot v = g - c \frac {I_m}{m}[/math] = 20.6 m/s²

Die Beschleunigung der Rakete ist trotz negativer Impulsänderungsrate positiv, weil die Rakete Masse abgibt, die mit wenig Impuls beladen ist. Mathematisch hängt die Beschleunigung wie folgt mit der Impulsänderungsrate zusammen

[math]\dot v = \frac {\dot p - \dot m v}{m}[/math]

Die Beschleunigung wird erst kleiner als Null, wenn die (negative) Impulsänderunsrate betragsmässig grösser als der Betrag des Produktes aus Massenstromstärke und Raketengeschwindigkeit ist.

Aufgabe