Impuls, Impulsstrom und Kraft

Die resultierende Kraft ist gleich Masse mal Beschleunigung. Diese Gleichung, die sowohl das Grundgesetz der Mechanik umfasst als auch die dynamische Grösse Kraft mit Hilfe der kinematischen Grösse Beschleunigung definiert, soll in dieser Vorlesung auf eine umfassendere Basis gestellt werden. Dazu gehen wir vom Impuls als Primärgrösse aus. Den Impuls kennt jedes Kind unter dem Namen Wucht oder Schwung. Der Impuls ist allgegenwärtig. Ob man mit dem Hammer einen Nagel in die Wand schlägt oder mit dem Auto einen Inselschutzpfosten rammt, ohne Impuls würde hier gar nichts passieren.

Der Impuls und damit auch die Kraft transformieren sich wie Vektoren. Um diese Schwierigkeit zu umgehen, führen wir ein erdfestes Koordinatensystem ein und diskutieren zuerst nur eine Komponente des Impulses. Wir untersuchen also nur Bewegungen längs einer Geraden. Diese eine Komponenten lässt sich durchaus mit der elektrischen Ladung oder sogar mit dem Volumen einer Flüssigkeit verglichen. Je früher Sie diese bildhafte Darstellung durchschauen, desto schneller werden Sie zu den Kernaussagen der Mechanik vorstossen.

Lernziele

Phänomene

Der angestossene Gleiter einer Luftkissenbahn bewegt sich ungebremst fort, bis er auf die Feder am Ende der Bahn trifft. Dieser Endanschlag wirft den Gleiter zurück, wonach dieser bis zum andern Anschlag zurück fährt, um dann wieder in die andere Richtung geworfen zu werden. Das Spiel wiederholt sich mehrmals, bis der Schwung des Gleiters aufgebraucht ist. Den intuitiven Begriff des Schwungs gilt es nun zu schärfen. Dazu machen wir ein paar kleine Experimente

Ein Gleiter bewegt sich mit der Geschwindigkeit 1.5 m/s auf einen ruhenden, gleich schweren Gleiter zu. Ein Klettverschluss sorgt dafür, dass die Gleiter nach dem Stoss zusammen bleiben. Die Gleiter bewegen sich nachher gemeinsam mit 0.75 m/s weiter. Weitere Experimente zeigen, dass die Geschwindigkeit bei einem inelastischen Stoss immer halbiert wird.
Verdoppelt man die Masse des auffahrenden Gleiters, steigt die gemeinsame Geschwindigkeit auf 1 m/s an. Verdoppelt man die Masse des anfänglich ruhenden Gleiters, beträgt die Geschwindigkeit nach dem inelastischen Stoss nur noch 0.5 m/s.
Lässt man die beiden Gleiter mit exakt entgegengesetzt gleicher Geschwindigkeit gegeneinander fahren, bleiben beide Körper nach dem inelastischen Stoss stehen.
Spannt man zwischen zwei Gleiter mittels zweier Fäden eine Feder, fahren die beiden Gleiter mit entgegengesetzt gleicher Geschwindigkeit auseinander, sobald die Fäden abgetrennt werden.

Impuls: Vorzeichen und Einheit

Im ersten Experiment führen wir mit der Hand dem Gleiter eine ganz bestimmte Menge Schwung oder eben Impuls zu. Danach behält der Gleiter seinen Impuls bei, bis er auf den Stosspartner trifft. Im Stoss überträgt der erste Gleiter die Hälfte seines Impulsinhalts auf den Partner, womit dessen Geschwindigkeit halbiert wird. Verdoppelt man die Masse des auflaufenden Gleiters, behält dieser nach dem Stoss 2/3 seines Inhaltes, womit die Geschwindigkeit nur um einen Drittel von 1.5 m/s auf 1 m/s fällt. Wird die Masse des ruhenden Körpers verdoppelt, übernimmt dieser 2/3 des Impulses und die Geschwindigkeit fällt auf 0.5 m/s. Zusammenfassend können wir festhalten; dass der Impuls

eine bilanzierfähige Erhaltungsgrösse ist
die Bewegung eines Körpers erzwingt (ohne Impuls keine Bewegung)
proportional mit der Geschwindigkeit wächst
proportional zur Masse des Speicherkörpers ist

Diese Idee hatte Christiaan Huygens schon im 17. Jahrhundert. Nur wusste damals niemand eine Erklärung für die Experimente 3 und 4. Wie kann durch das Zusammenfügen von zwei Mengen Nichts entstehen, d.h. wie können sich zwei Mengen zu Null addieren? Und wie erklärt man das Wegfahren der beiden Gleiter unter der Wirkung einer Feder, die selber keinen Impuls besessen hat. Solche Vorgänge sind echt schwer zu erklären. Bei der elektrischen Ladung hat es etwa hundert Jahre gedauert, bis sich die Idee einer vorzeichenfähigen Menge durchgesetzt hat. Den Impuls hat man sogar erst im Zusammenhang mit der Quantenmechanik als bilanzierfähige Grösse akzeptiert.

Zwei Autos prallen frontal gegeneinander. Der Impuls geht während des Stosses durch die Knautschzonen von einem Auto ins andere über. Weil das eine Auto einen Impulsüberschuss und das andere einen Mangel an Impuls hatte, weisen beide Fahrzeuge nach dem Stoss keinen Impuls mehr auf. Doch welches Auto hatte vorher einen Impulsüberschuss und welches einen Mangel? Diese Vorzeichenfrage lässt sich wie bei der elektrischen Ladung nur mit Hilfe eine Konvention beantworten, die rein geometrischer Natur ist. Man muss bei jeder Problemstellung mit der Auszeichnung einer Richtung festlegen, wann ein Körper einen Impulsüberschuss und wann er einen Mangel aufweist:

bewegt sich ein Körper vorwärts, besitzt er einen Impulsüberschuss
bei einem Impulsmangel bewegt sich ein Körper rückwärts, also gegen die Bezugsrichtung

Im internationalen Einheitensystem ist die Einheit des Impulses sehr einfach gewählt worden. Der Impulsinhalt eines Körpers ist gleich dem Produkt aus Masse und Geschwindigkeit. Deshalb gilt

[math]p_x=mv_x[/math]

Der Impulsinhalt (Formelzeichen p) wird über Masse (Formelzeichen m) und Geschwindigkeit (Formelzeichen v) gemessen. Für die Einheit des Impulses ergibt sich

[math][p_x][/math] = kgm/s

Damit überträgt sich die Vorzeichenkonvention auf die Geschwindigkeit. Ein Körper, der eine negative Geschwindigkeit aufweist, sich also in negative Richtung bewegt, besitzt einen Impulsmangel. Dieser Sachverhalt ist analog zur Elektrizitätslehre: wir können anhand des elektrischen Feldes (also am Potential) erkennen, ob ein Körper positiv oder negativ geladen ist. Vergessen Sie aber nie, dass der Impuls wie die elektrische Ladung eine Primärgrösse der Physik ist und nicht ein Produkt, das auf Masse und Geschwindigkeit zurückgeführt werden muss.

In der oben aufgeführten Formel sind sowohl der Impuls als auch die Geschwindigkeit mit x indiziert. Dieser Index weist darauf hin, dass es sich sowohl beim Impuls wie auch bei der Geschwindigkeit um Vektoren handelt. Der Impuls darf somit wie die Geschwindigkeit bezüglich der drei Richtungen eines erdfesten Koordinatensystems in drei Teile, Komponenten genannt, zerlegt werden. Jede dieser drei Komponenten ist dann wie eine eigenständige Mengen zu behandeln.

Flüssigkeitsbild

Wie in der Elektrizitätslehre führen wir zur Veranschaulichung das Flüssigkeitsbild ein. In der Translationsmechanik ist die Masse die kapazitive Grösse. Folglich erscheint die Masse im Flüssigkeitsbild als Grundgläche. Die Geschwindigkeit, die Potentialgrösse, wird zur Füllhöhe. Im Flüssigketsbild verwandeln sich alle Körper zu zylinderförmigen Gefässen, die in einem riesigen See, welche die Erde darstellt, stehen. Fährt ein Körper rückwärts, sinkt sein Pegel unter den Spiegel der Erde.

Der "Füllstand" eines Körpers wird durch die Geschwindigkeit angezeigt. Zeichnet man den zeitlichen Verlauf des Füllstandes auf, erhält man das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm. Dieses Diagramm hat eine dynamische Seite, gibt es doch denn Füllzustand an Impuls an, und eine kinematische (das Diagramm beschreibt ja auch noch die Bewegung des Körpers). Den Zusammenhang zwischen Bewegung, Geschwindigkeit und Flüssigkeitsbild sollten Sie sich gut einprägen. Diese drei Bilder decken einen schönen Teil der Translationsmechanik ab.

Beispiele:

Stösse

Luftkissenfahrzeuge sind entweder mit einem Klettverschluss oder mit kurzen, harten Federn bestückt. Prallen die Fahrzeuge mit dem Klettverschluss aufeinander, kleben sie nachher zusammen. Der Stoss erfolgt inelastisch. Prallen die Fahrzeuge mit den Federn aufeinander, erfolgt der Stoss elastisch.

Im Flüssigkeitsbild ist die Stossdynamik einfach nachzubilden. Dazu verbindet man die beiden zylindrischen Gefässe, welche die Fahrzeuge darstellen, zu einem U-Rohr. Beim inelastischen Stoss gleichen sich die beiden Niveaus an. Im elastischen Fall überschwingt die Flüssigkeitssäule. Ein Zurückschwingen ist jedoch nur möglich, wenn die Federn mit den Fahrzeugen fest verbunden sind. Nur so können die Federn auf Zug (Impuls fliesst rückwärts) belastet werden.

Ein realer Stoss ist teilelastisch. Der Stoss liegt dann zwischen dem inelastischen (kein Überschwingen) und dem vollelastischen Grenzfall (Auslenkung am Schluss gegengleich zu Auslenkung am Anfang).

Animationen:

inelastischer Stoss: Geschwindigkeiten gleichen sich an
elastischer Stoss: Impuls überschwingt

Inelastische und vollelastische Stösse sind mit Hilfe des Flüssigkeitsbild recht einfach zu durchschauen. Die realen Stösse, die zwischen diesen beiden Vorgängen liegen, geben etwas mehr her. Dazu ein

Beispiel

Ein Luftkissenfahrzeug (Masse 600 g) prallt mit 2 m/s gegen ein zweites (Masse 400 g), das ihm mit -1 m/s entgegen fährt. Nach dem Stoss steht das schwere Fahrzeug still.

Wie schnell bewegen sich die Luftkissenfahrzeug in dem Moment, in dem sie gleich schnell sind?
Wie schnell bewegt sich das leichte Luftkissenfahrzeug nach dem Stoss?
Wie gross sind die Endgeschwindigkeiten der Fahrzeuge, wenn das schwerere mit 3 m/s gegen das leichte prallt, das vorher in Ruhe gewesen ist?

Lösung:

Auch bei dieser Aufgabe leistet das Flüssigkeitsbild gut Dienste.

Der Gesamtimpuls von 0.8 kgm/s (0.6 kg mal 2 m/s plus 0.4 kg mal -1 m/s) wird zuerst auf beide Systeme (Masse 1kg) verteilt, was eine Geschwindigkeit von 0.8 m/s ergibt.
In der zweiten Phase gibt das schwere Fahrzeug nochmals 0.48 kgm/s (0.6 kg mal 0.8 m/s) Impuls an das leichte ab. Dies erhöht die Geschwindigkeit des leichten Fahrzeugs um zusätzliche 1.2 m/s. Folglich bewegt sich dieses mit 2 m/s weiter.
Die Relativgeschwindigkeit ist beim zweiten Aufprall gleich wie beim ersten. Im Flüssigkeitsbild liegt der zweite Prozess um 1 m/s höher als der erste. Folglich werden sich das schwere Fahrzeug mit 1 m/s und das leichte mit 3 m/s weiterbewegen.

Impulsstrom

Eine Lok zieht einen Wagen weg, bremst ab, fährt zurück und steht dann wieder still ([Animation]). Im Flüssigkeitsbild wird die Geschwindigkeit und auch der Impulsinhalt der beiden Fahrzeuge dargestellt:

vorwärts anfahren: Impuls wird von der Lok aus der Erde in den Zug gepumpt
vorwärts bremsen: Impuls fliesst unter Abgabe von Energie vom Zug an die Erde weg
rückwärts anfahren: Impuls wird von der Lok aus dem Zug an die Erde weggepumpt
rückwärts bremsen: Impuls fliesst unter Abgabe von Energie aus der Erde in den Zug hinein