Fussball

Fußssball ist eine Sportart, bei der zwei Mannschaften mit je elf Spielern (einem Torhüter und zehn Feldspielern) gegeneinander antreten. Ziel des Spiels ist es, den Ball möglichst oft ins gegnerische Tor zu bringen. Nach den Regeln des DFB ist ein Fussball regelgerecht, wenn er

kugelförmig ist,
aus Leder oder einem anderen geeigneten Material gefertigt ist,
einen Umfang zwischen mindestens 68 und höchstens 70 cm hat,
zu Spielbeginn mindestens 410 und höchstens 450 Gramm wiegt und
sein Überdruck 0.6–1.1 Atmosphären beträgt.

Unser Modellball habe eine Masse von 0.44 kg und einen Durchmesser von 22 cm (Querschnitt 3.8 dm²). Wie die nachfolgenden Simulationen zeigen, hängt die Bewegung des Fussballs stark vom Einfluss der umgebenden Luft ab. Die Physik des Fussballs lässt sich nicht auf den Wurf eines Körpers im Vakuum reduzieren.

Abstoss

Der Abstoss wird meist von einem Torwart ausgeführt, in seltenen Fällen auch von einem Spieler. Beim Abstoss darf sich kein weiterer Spieler im Strafraum aufhalten. Im Fussball werden Anfangsgeschwindigkeiten von über 100 km/h erreicht. Es sind schon Werte bis 183 km/h gemessen worden (David Hirst, September 1996).

Das systemdynamische Modell des Abstosses besteht aus einer Impulsbilanz für die horizontale und eine zweite Bilanz für die vertikale Richtung, sowie den beiden Integratoren zur Berechnung des Orts in x-Richtung und in y-Richtung (nach oben). Das Gravitationsfeld entzieht dem Ball mit konstanter Rate Impuls(Gewichtskraft zeigt gegen die y-Richtung). Die Wirkung des Luftwiderstands ist proportional zur Dichte der kinetischen Energie der Anströmung und der Querschnittfläche. Der Einfluss von Form und Oberfläche des Balls wird mit Hilfe des Widerstandsbeiwerts c_W beschrieben. Der Widerstandsbeiwert einer glatten Kugel ist bis zu einer Reynolds-Zahl von etwa 3*10⁵ gleich 0.4 (andere Quellen geben einen Anstieg bis auf 0.5 an). Danach fällt der Widerstandsbeiwert auf etwa 0.09 (Re = 4*10⁵), um sich später wieder dem Wert 0.2 zu nähern (Re = 8*10⁶). Der Grund für diesen Einbruch liegt in der Querschnittsverringerung der Wirbelstrasse infolge schnelleren Abrisses der Wirbel. Einen ähnlichen Effekt erzeugen die Nähte des Fussballs schon bei kleinerer Reynolds-Zahl. Gemäss verschiedener Quellen soll der Widerstandsbeiwert eines Fussballs im Schnitt nur etwa 0.2 betragen.

Die Luft wirkt gegen die Geschwindigkeit des Balls, d.h. zwischen Luft und Ball werden beide Impulskomponenten ausgetauscht. Um die Stärken dieser Impulsströme mathematisch sauber zu formulieren, schreiben wir die Luftwiderstandskraft als Vektor

[math]\vec F_W=\frac \varrho 2 v^2 c_W A\vec e_v=\frac \varrho 2 v^2 c_W A\frac{\vec v}{v}=\frac \varrho 2 c_W Av\vec v[/math]

Die x-Komponente ist demnach gleich einer Konstanten mal der Betrag der Geschwindigkeit mal die x-Komponente der Geschwindigkeit.

Die ersten drei Bilder zeigen das Systemdiagramm, die Bahnen des Balls unter Variation des Widerstandsbeiwerts (0, 0.2, 0.4) sowie unter Variation des Abschusswinkels (40°, 45° und 50°) mit einer Abschussgeschwindigkeit von 30 m/s (108 km/h). Im vierten Bild ist der Luftwiderstand auf eine glatte Kugel und auf einen Fussball in Funktion der Geschwindigkeit dargestellt. Das fünfte Bild stellt nochmals verschiedene Bahnen dar, wobei einmal mit dem Widerstandsbeiwert 0.2 (schwarz), einmal dem gemessenen Luftwiderstand in Funktion der Geschwindigkeit (rot) und einmal mit dem Verhalten einer idealen Kugel (grün) gerechnet worden ist.

Systemdiagramm (flowchart)
Widerstandsbeiwert 0, 0.2, 0.4
Abschuss-Winkel 40°, 45° und 50°
Widerstand in Funktion der Geschwindigkeit
c_W = 0.2 und empirische Kurven

Abstoss mit Rotation

Trifft der Fuss beim Abstoss nicht genau radial auf den Ball, führt er ihm Impuls und Drehimpuls zu. Der Impuls erzwingt die Geschwindigkeit v und der Drehimpuls die Winkelgeschwindigkeit ω des Balls. Infolge der Rotation wirkt auf den Ball neben der Gewichtskraft und dem Luftwiderstand noch eine Magnuskraft. Diese Kraft steht normal zur Geschwindigkeit und normal zur Winkelgeschwindigkeit

[math]\vec F_M=2\rho c_M V(\vec \omega\times \vec v)[/math]

Die Zahl c_M heisst Mangusbeiwert und hängt von der Beschaffenheit des Balls sowie von der Anströmgeschwindigkeit ab. Nachfolgend wird ein Wert von 0.15 angenommen. Dreht sich der Ball zehn Mal pro Sekunde um eine Achse, die Normal zur Geschwindigkeit steht, erhält man mit diesem Wert bei einer Abschussgeschwindigkeit von 30 m/s eine Magnuskraft von 3.6 N. Diese Kraft ist dann etwa von gleicher Grösse wie der Luftwiderstand (4.1 N) oder der Gewichtskraft (4.3 N).

Das erste Bild zeigt das Systemdiagramm (flowchart) zur Berechnung des Abstosses. Im Gegensatz zur Magnusrolle ist hier die Abnahme der Winkelgeschwindigkeit infolge der Luftreibung nicht modelliert. Im zweiten Bild ist die Bahn des Balls mit einer Winkelgeschwindigkeit von 60 s^-1 (etwa 10 Umdrehungen pro Sekunde) und verschiedenen Abschusswinkeln dargestellt. Das dritte Bild zeigt die Bahnen bei einem Abschusswinkel von 25° und verschiedenen Winkelgeschwindigkeiten.

Systemdiagramm (flowchart)
verschiedene Winkel
Drallstudie

Bananenflanke

Bei der Bananenflanke fliegt der Fussball auf einer gekrümmten Bahn durch die Luft. Technisch wird die Bananenflanke durch die Rotation des Balls erzeugt. Die Rotation sorgt für eine asymmetrische Umströmung des Balls und damit für eine seitlich wirkende Kraftkomponenten von der Luft auf den Ball (Magnus-Effekt). Im Unterschied zum Abstoss mit Rotation dreht sich der Ball bei der Bananenflanke nicht in der Ebene der Flugbahn, sondern parallel zum Fussballfeld, d.h. die Winkelgeschwindigkeit ist nicht in z-Richtung sondern parallel zur y-Richtung orientiert.

Die unten stehenden Bilder zeigen das Systemdiagramm, die Gleichungen sowie die verschiedenen Bahnen des Balls von oben gesehen. Die Winkelgeschwindigkeiten variiert von plus 60 s^-1 bis minus 60 s^-1 (entsprechend plus minus 10 Umdrehungen pro Sekunde).

Systemdiagramm (flowchart)
Gleichungen
Bahn: y und z gegen x

Literatur

John Wesson: Fussball - Wissenschaft mit Kick Von der Physik fliegender Bälle und der Statistik des Spielausgangs, Elsevier Verlag 2005, ISBN:3-8274-1665-5