Kapazitives Gesetz

Aus SystemPhysik

Begriff

Das kapazitive Gesetz verknüpft die gespeicherte Menge oder Primärgrösse mit dem zugehörigen Potenzial (das Potenzial ist eine Funktion der Menge, die Menge eine Funktion des Potenzials):

φM = f(M) oder M = f-1M)

Im einfachsten Fall nimmt das Potenzial proportional mit der Menge zu (Füllstand wächst proportional mit dem Inhalt). Die zugehörige Kapazität ist dann eine Konstante:

ΔφM = ΔM / CM oder ΔM = CM ΔφM

Der Begriff Kapazität kann auch verwendet werden, wenn das Potenzial nicht proportional mit der gespeicherten Menge wächst:

M = dM / CMM) oder dM = CMM) dφM

Die Menge berechnet sich dann durch Summation (Integration) über alle Zwischenzustände (Füllzustände):

M = dM = CMM) dφ


Beispiele

Gebiet Element Kapazität Einheit Bemerkung
Hydrodynamik zylindrisches Gefäss A/(ρg) m3/Pa = m4s2/kg A(h) für beliebige Gefässe
Hydrodynamik Federspeicher A2/D m3/Pa = m4s2/kg D Richtgrösse oder Gesamtfederkonstante
Elektrodynamik Plattenkondensator ε0A/d Farad (F) d Plattenabstand
Translationsmechanik starrer Körper träge Masse m Kilogramm (kg) alle drei Komponenten
Rotationsmechanik starrer Körper Massenträgheit J kg m2 symmetrischer Tensor
Thermodynamik homogener Stoff mcS J/K2 cS=cW/T


Energie

Die Energie eines homogenen Speichers berechnet sich über die Energiebilanz, den zugeordneten Energiestrom,die Mengenbilanz und das Kapazitivgesetz:

dW/dt = ∑i IWi = ∑iM IMi)= φMi IMi = φM dM/dt = CMM) φMM/dt

Multipliziert man die Änderungsraten mit dem Zeitschritt dt und summiert (integriert) über alle Zwischenzustände, folgt:

ΔW = dW = φM dM = CMM) φMM

Hängt die Kapazität nicht vom Inhalt ab, kann das Integral einfach ausgewertet werden:

ΔW = φM dM = CM φMM = 1/2 CM [(φM nachher)2 - (φM vorher)2]

Ist der Speicher zu Beginn leer, gilt:

W = 1/2 CMM)2