Ideales Gas

Modell

Das Modell des idealen Gases beschreibt den Zustand von stark verdünnten Stoffen, wobei die Wechselwirkung zwischen den Teilchen dieses Stoffes vernachlässigbar klein sein sollte. Dieses Modell ist auf gasförmige und gelöste Stoffe anwendbar.

thermische und mechanische Verbindung des idealen Gases

Der Zustand des idealen Gases kann auf zwei Arten verändert werden, durch heizen und kühlen oder durch komprimieren und entspannen. Um diese Prozesse kontrolliert ablaufen zu lassen, gehen wir von folgender Anordnung aus. Das Gas befinde sich in einem Zylinder, der mit einem Kolben verschlossen ist. Der Zylinderboden sei ideal wärmedurchlässig (diatherm), besitze aber selber keine Wärmekapazität. Die Zylinderwände und der Kolben sind absolut wärmeisoliert (adiabatisch). Der reibunsfrei verschiebbare Kolben schliesst das Gas hermetisch gegen eine inkompressible Flüssigkeit ab, welche für den Druckaufbau verantwortlich ist. Bei Lösungen ist die Flüssigkeit gleichzeitig Lösungsmittel und der Kolben für das Lösungsmittel durchlässig, für den gelösten Stoff dagegen nicht. Einen dermassen selektiv durchlässigen Kolben nennt man semipermeabel.

Das Systeme Gas besitzt eine direkte thermische und eine indirekte hydraulische Verbindung zur Umgebung. Es kann deshalb mit der Umgebung Energie in Form von Wärme und Arbeit austauschen.

Bilanzen und Prozesse

Das ideal Gas kann über zwei Verbindungen (Portale oder Konnektoren) Entropie und Volumen mit der Umgebung austauschen. Weil das Gas homogen ist und die Verbindungen ideal sind, wird innerhalb des Systems keine Entropie produziert. Folglich kann die Entropiebilanz und die Volumenbilanz in einfachster Form hingeschrieben werden

[math]\begin{matrix} I_S &=& \dot S \\ I_V &=& \dot V_{Fluid} = -\dot V \end{matrix}[/math]

Das ideale Gas kann vier einfach zu realisierende Prozesse durchlaufen. In zwei Prozessen ist je ein Portal geschlossen, in den zwei andern ist das Portal hemmungslos mit der Umwelt verbunden, so dass innen und aussen der gleiche Druck bzw. die gleiche Temperatur herrscht.

Prozess	Beschreibung	thermisches Portal	hydraulisches Portal
isochor	V =konst	aktiv	geschlossen
isobar	p =konst	aktiv	direkt verbunden
isentrop	S =konst	geschlossen	aktiv
isotherm	T =konst	direkt verbunden	aktiv

konstitutive Gleichungen

Beim idealen Gas koppeln zwei Bilanzgleichungen über die beiden zugehörigen Potenziale. Im Gegensatz zum Massenpunkt als dreifacher, aber entkoppelter Impulsspeicher und anders als beim starren Körper als dreifacher Drehimpulsspeicher, ist die Struktur dieser beiden Speichergesetze nicht ganz einfach zu durchschauen.

Das erste Speichergesetz, die universelle Gasgleichung oder die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases, verknüpft die drei direkt messbaren Grössen Druck, Volumen und Temperatur miteinander

[math]pV= nRT=mR_sT[/math]

Die erste Form basiert auf der Stoffmenge als natürliches Mass für die Menge eines Stoffes, die zweite nimmt die Masse als Hilfsgrösse, um die Menge des Soffes zu quantifizieren. R steht für die universelle Gaskonstante und R_s für die spezifische Gaskonstante, die für jeden Stoff einen andern Wert annimmt.

Das zweit Speichergesetz beschreibt die Entropie in Funktion des Volumens und der Temperatur

[math]S = S_0 + n (R ln \frac {V}{V_0} + \hat c_V ln \frac {T}{T_0}) = S_0 + m (R_s ln \frac {V}{V_0} + c_V ln \frac {T}{T_0})[/math]

Die molare oder spezifische Energiekapazität (c^_V oder c_V) ist für einatomige Gase gleich 3 R / 2 bzw. 3 R_s / 2. Diese Grössen nennt man auch molare bzw. spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen, weil sie beim Heizen mit konstantem Volumen (isochores Heizen) ein Mass für die zuzuführende Wärmeenergie sind.

Mit Hilfe der universellen Gasgleichung kann das Speichergesetz für die Entropie umgeformt werden in

[math]S = S_0 + n (R ln \frac {p_0}{p} + \hat c_p ln \frac {T}{T_0}) = S_0 + m (R_s ln \frac {p_0}{p} + c_p ln \frac {T}{T_0})[/math]

vobei c^_p oder c_p die molare bzw. spezifische Enthalpiekapazität (auch moalre bzw. spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck genannt) um eine Gaskonstante grösser ist als die molare bzw. spezifische Wärmekapazität. Diese Grössen heissen auch molare bzw. spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck, weil sie beim Heizen mit konstantem Druck (isobares Heizen) ein Mass für die zuzuführende Wärmeenergie sind.

Bei den vier grundlegenden Prozessen nehmen die beiden konstitutiven Gleichungen die folgende Form an (die Gleichungen müssen unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen nach der Zeit abgeleitet werden, damit sie in Form von Änderungsraten eine momentane Beschreibung des Prozesses abgeben)

Prozess	Gasgleichung	Entropiegesetz	Bemerkung
isochor	[math]V \dot p = n R \dot T[/math]	[math]\dot S = n \hat c_V \frac {\dot T}{T}[/math]	[math]\dot V = 0[/math]
isobar	[math]p \dot V = n R \dot T[/math]	[math]\dot S = n \hat c_p \frac {\dot T}{T}[/math]	[math]\dot p = 0[/math]
isentrop	[math]R \frac {\dot V}{V}\hat + c_V \frac {\dot T}{T} = 0[/math]	[math]\dot S = 0[/math]	erste Gleichung folgt aus Entropiegesetz
isotherm	[math]\dot p V + \dot V p = 0[/math]	[math]\dot S = n R \frac {\dot V}{V}[/math]	[math]\dot T = 0[/math]

Energiebilanz

Die Energiebilanz bezüglich eines homogenen, thermischen Systems heisst aus historischen Gründen 1. Hauptsatz. Die Bilanz setzt die Stärke des thermischen Energiestromes (Wärme) und die des mechanischen (Arbeit) gleich der Änderungsrate der inneren Energie

[math]I_{Wtherm} + I_{Wmech} = \dot W[/math]

Die Energieströme können mit Hilfe des zugeordneten Energiestromes durch die Stromstärke der Ptimärgrössen und die zugehörigen Potenziale ausgedrückt werden

[math]T I_S + p I_V = \dot W[/math]

Weil das System reversibel (ohne Entropieproduktion) arbeitet, dürfen die Mengenströme über die Entropiebilanz und die Volumenbilanz durch die zugehörigen Änderungsraten ersetzt werden

[math]T \dot S - p \dot V= \dot W[/math]

Das Minuszeichen beim hydraulischen Teil kommt daher, dass die Summe aus Gasvolumen und Fluidvolumen konstant ist: wenn das Fluidvolumen infolge Zufuhr zunimmt, vermindert sich das Gasvolumen und umgekehrt.

Die letzte Form ermöglicht eine graphische Interpretation der Wärme und der Arbeit bei homogenen und reversiblen Systemen. Die Wärme entpricht der Fläche (Integral) unter der Kurve im T-S-Diagramm und die Arbeit ist gleich der Fläche (negatives Integral) im p-V-Diagramm.

Setzt man in die letzte Form der Energiebilanz das Entropiegesetz für das ideale Gas bei einem isochorem Prozess ein (siehe Tabelle), erhält folgende Aussage

[math]\dot W = n \hat c_V \dot T[/math]

Indem man die konstitutiven Gesetze des idealen Gases für eine beliebe Prozessführunge einsetzt, kann man zeigen, dass die innere Energie des Gases proportional zur Temperatur steigt und unabhängig vom Volumen ist.