Einfaches Reservoir

Wasser strömt mit einer zeitabhängigen Stromstärke in ein Reservoir. Wie verändert sich der Inhalt des Reservoirs? Was passiert, wenn das Reservoir noch ein Leck aufweist? Dieses Problem eignet sich bestens, um in die systemdynamische Modellierungstechnik einzusteigen. Nachfolgend wird gezeigt, wie man diese Aufgabe mit BerkeleyMadonna löst.

Sobald das Programm geöffnet ist, sollten Sie das equations-Fenster wieder schliessen. Öffnen Siw dafür ein flowchart-Fenster (im Pull-Down-Menü File den Befehl New Flowchart auswählen oder mit der Tastenkombination Ctrl+Shift+N). In diesem Fenster, der eigentlichen Modellierungsebene, werden die Modelle als Systemdiagramme aufgebaut. Sollten Sie einmal ein Element zu viel gezeichnet haben, können Sie es mit der Maus aktivieren (erscheint dunkelrot) und mit Ctrl+Delete entfernen.

Aufgabe	Aktion	Reaktion
Modellieren: Ein System, bestehend aus Reservoir und Zuleitung soll modelliert werden.	Das Modell wird wie folgt erstellt: Ikon reservoir in der untersten Taskleiste durch Mausklick aktivieren Mit der Maus an die Stelle ins Systemdiagramm klicken, an welcher das Reservoir erscheinen soll Reservoir mit Volumen beschriften Ikon flow aktivieren, mit der Maus links vom Reservoir ins Systemdiagramm klicken und bis ins Reservoir hinein ziehen (Rahmen um Reservoir muss erscheinen) Flow mit Volumenstrom beschriften.
Parametrisieren: Der Eingangsstrom soll sich gemäss folgender Beziehung verändern [math]I_V=I_{V0}-I_{VPunkt}\cdot t[/math] wobei für die Stärke des Anfangsstroms (I₀) 2 l/s und für die Änderungsrate (I_VPunkt) 0.001 l/s² angenommen werden kann Der Inhalt des Reservoirs setzen wir zum Zeitnullpunkt auf Null.	Die Parameter Anfangsstrom und Änderungsrate des Stromes erhalten ein eigenes Ikon Ikon formula aktivieren, ins Systemdiagramm klicken, mit IV0 beschriften Vorgang wiederholen und mit IVPunkt anschreiben Auf die Kugel von IV0 doppelklicken, `0.002 {m3/s}` in Befehlszeile schreiben Auf die Kugel von IVPunkt doppelklicken, `1e-6 {m3/s2}` in Befehlszeile schreiben Ikon arc aktivieren, in Kugel hinein klicken und ins Ventil des Volumenstromes ziehen Auf Ventil doppelklicken und `IV0-IVPunkttime` in die Befehlszeile schreiben (die beiden Parameter lassen sich mittels Doppelklick im Fenster required inputs* aufgerufen)
Simulieren: Das Modell, bestehend aus Behälter und einem zeitabhängigen Zufluss soll nun simuliert werden. Die Simulationszeit betrage 2000 Sekunden und der Zeitschritt kann auf 5 Sekunden gesetzt werden. Als Integrationsmethode verwende man die elementare Euler-Methode.	Im Pull-Down-Menü Parameters den Befehl Parameter Window (Ctrl+Shift+P)auswählen und entsprechende Zeilen neu setzten bzw. umschreiben	Sobald die Taste 'run im Parameter Window gedrückt wird, geht ein neues Fenster auf
Erweitern: Das Reservoir sei prismatisch oder zylinderförmig. Der Querschnitt messe 0.4 m². Das Modell ist so zu erweitern, dass die Füllhöhe angezeigt wird. Was ist zu tun, wenn der Querschnitt als Funktion der Höhe gegeben ist?	Die Erweiterung sollte nun keine Hexerei mehr sein: Parameter A (formula) für den Querschnitt einführen; Grösse h für die Höhe kreieren; Pfeile von Volumen und Querschnitt zu Höhe ziehen und dort den Quotienten h = Volumen/A bilden. Schwieriger wird die Sache, wenn der Querschnitt eine Funktion der Höhe ist. BerkeleyMadonna lässt keinen zweiten Pfeil von der Höhe zum Querschnitt zu (circular reference). In diesem Fall bleibt nichts anderes übrig, als die Funktion h(V) explizit zu berechnen und dann ins Modell einzufügen.
Rückkoppeln: Das Reservoir leckt. Nun hat Evangelista Torricelli schon gezeigt, dass das Wasser gleich schnell aus einem Reservoir ausströmt wie ein Körper, der von der Wasseroberfläche fallen gelassen wird, am Loch vorbei fliegt. Folglich ist der Leckstrom gleich [math]I_{V2}=A_L \sqrt{2gh}[/math]	Der Leckstrom ist gleich einer Konstanten mal die Wurzel aus der Höhe [math]k =\frac {I_{V2}}{\sqrt{h}}[/math] Die Konstante k lässt sich abschätzen. Nimmt man an, dass der Volumenstrom bei einer Füllhöhe von einem Meter ein Liter pro Sekunde beträgt, erhält man für die Konstante k = 0.001 {m2.5/s0.5}
Analysieren: Das vorliegende Modell wird durch eine Differentialgleichung (nichtlinear, erster Ordnung) beschrieben. Alle Gleichungen, die von BerkeleyMadonna erzeugt werden, sollen nun zu einer einzigen Gleichung zusammengefasst werden, die das dynamische Verhalten dieses Systems beschreibt.	Aktiviert man im Pull-Down-Menü Model den Befehl Equations (Ctrl+E) erscheint das abgebildete Fenster. Setzt man alle Beziehungen in die Bilanzgleichung ein, erhält man die Differentialgleichung [math]I_V=I_{V0}-I_{V_{Punkt}}t-k\sqrt{\frac{V}{A}}[/math]