Kapazitives Gesetz
Begriff
Das kapazitive Gesetz verknüpft die gespeicherte Menge oder Primärgrösse mit dem zugehörigen Potenzial (das Potenzial ist eine Funktion der Menge, die Menge eine Funktion des Potenzials):
φM = f(M) oder M = f-1(φM)
Im einfachsten Fall nimmt das Potenzial proportional mit der Menge zu (Füllstand wächst proportional mit dem Inhalt). Die zugehörige Kapazität ist dann eine Konstante:
ΔφM = ΔM / CM oder ΔM = CM ΔφM
Der Begriff Kapazität kann auch verwendet werden, wenn das Potenzial nicht proportional mit der gespeicherten Menge wächst:
dφM = dM / CM(φM) oder dM = CM(φM) dφM
Die Menge berechnet sich dann durch Summation (Integration) über alle Zwischenzustände Füllzustände):
M = ∫ dM = ∫ CM(φM) dφ
Beispiele
| Gebiet | Element | Kapazität | Einheit | Bemerkung |
|---|---|---|---|---|
| Hydrodynamik | zylindrisches Gefäss | A/(ρg) | m3/Pa = m4s2/kg | A(h) für beliebige Gefässe |
| Hydrodynamik | Federspeicher | A2/D | m3/Pa = m4s2/kg | D Richtgrösse oder Gesamtfederkonstante |
| Elektrodynamik | Plattenkondensator | ε0A/d | Farad (F) | d Plattenabstand |
| Translationsmechanik | starrer Körper | träge Masse m | Kilogramm (kg) | alle drei Komponenten |
| Rotationsmechanik | starrer Körper | Massenträgheit J | kg m2 | symmetrischer Tensor |
| Thermodynamik | homogener Stoff | mcS | J/K2 | cS=cW/T |
Energie
Die Energie eines homogenen Speichers berechnet sich über die Energiebilanz, den zugeordneten Energiestrom und die Mengenbilanz:
dW/dt = ∑i IWi = ∑i (φM IMi)= φM ∑i IMi = φM dM/dt = CM(φM) φM dφM/dt
ΔW = ∫ dW = ∫ φM dM = ∫ CM(φM) φM dφM
Hängt die Kapazität nicht vom Inhalt ab, kann das Integral ausgewertet werden:
ΔW = ∫ φM dM = ∫ CM φM dφM = 1/2 CM [(φM nachher)2 - (φM vorher)2]