Rotator

Der Rotator ist ein starrer Körper, der um eine festen Achse drehbar gelagert ist. Der Rotator kann nur eine Komponente des Drehimpulses frei austauschen; er besitzt nur einen Freiheitsgrad der Bewegung. Die andern beiden Komponenten des Drehimpulses, sowie die in Richtung der Achse weisende Komponente des Impulses sind zu jedem Zeitpunkt gleich Null. Die zwei restlichen Komponenten des Impulses sind durch die Winkelgeschwindigkeit und die Lage des Massenmittelpunktes festgelegt.

Die Mechanik des Rotators kann mit Hilfe der Drehimpulsbilanz bezüglich der festen Achse und dem zugehörigen Kapazitivgesetz beschrieben werden. Im Physikunterricht werden leider allzu oft anhand des Spezialfalles Rotator Begriffe wie Drehmoment, Massenträgheitsmoment oder Rotationsenergie eingeführt. Weil die Mechanik des Rotators aus einem Mix aus Translationsmechanik und Rotationsmechanik besteht und diese hybride Struktur nicht offen gelegt wird, entwickeln die Studierenden viele Fehlvorstellungen, die später nur noch schwer zu beheben sind.

Bilanzgesetze

Teilt man die Impulsstromstärken bezüglich des Rotators, die Kräfte, in die Lagerkraft F_L und in die äusseren Kräfte ein, lauten die Bilanzgleichungen wie folgt

Impulsbilanz: [math]\sum_i \vec F_i + \vec F_L + m \vec g = \dot {\vec p}[/math]

Drehimpulsbilanz: [math]\sum_i \vec M_i + \sum_i \left(\vec r_i \times \vec F_i \right) + \left(\vec r_L \times \vec F_L \right) = \dot {\vec L}[/math]

Die Distanzvektoren r zeigen vom Massenmittelpunkt des Rotators zum Angriffszentrum der jeweiligen Kraft.

Die Achse verhindert nun, dass von den sechs skalaren Mengen (drei Komponenten des Impulses und drei Komponenten des Drehimpulses) drei (eine Komponente des Impulses und zwei Komponenten des Drehimpulses) gespeichert werden können. Legt man die z-Achse des globalen Koordinatensystems parallel zur Rotatorachse, lauten die nicht trivialen Bilanzgleichungen

Impuls: [math]\sum_i \vec F_{ni} + \vec F_{nL} + m \vec g_n = \dot {\vec p}_n[/math]

Drehimpulsbilanz: [math]\sum_i M_{zi} + \sum_i \left(\vec r_i \times \vec F_i \right)_z + \left(\vec r_L \times \vec F_L \right)_z = \dot L_z[/math]

Der Index n steht für normal und weist darauf hin, dass nur die normal zur Achse gerichtete Komponente, die in der x-y-Ebene liegt, gemeint ist.

Hybridisierung

Die Impulsbilanz und Drehimpulsbilanz lassen sich zu einer einzigen Gleichung zusammenfassen, indem die Impulsbilanz mit einem Ortsvektor, der von einem beliebigen Punkt auf der Achse zum Massenmittelpunkt zeigt von links her vektoriell multipliziert

[math]\vec s_{MMP} \times \sum_i \vec F_i + \vec s_{MMP} \times \vec F_L + \vec s_{MMP} \times m \vec g = \vec s_{MMP} \times \dot {\vec p}[/math]

und zur Drehimpulsbilanz addiert wird

[math]\sum_i \vec M_i + \sum_i \left(\vec s_i \times \vec F_i \right) + \left(\vec s_L \times \vec F_L \right) + \vec s_{MMP} \times \vec F_G = \dot {\vec L} + \vec s_{MMP} \times \dot {\vec p}[/math]

Die Achse, die bewirkt, dass nur die z-Komponente des Drehimpulses und x- und die y-Komponente des Impulses ungleich Null sein können, bestimmt nun auch die Form der hybridisierten Bilanzgleichung

[math]\sum_i M_{zi} + \sum_j \left(\vec s_j \times \vec F_j \right)_z = \dot {L}_z + \left(\vec s_{MMP} \times \dot {\vec p}\right)_z[/math]

Die Wirkung der Lagerkraft ist verschwunden, weil s_L in z-Richtung zeigt. Das Drehmoment der Gewichtskraft bezüglich der Achse ist zu den Drehmomenten der andern Kräfte dazu addiert worden. Die Bilanzgleichung bezüglich des z-Drehimpulses besagt nun, dass die Summe über alle reinen Drehmomente und die Summe über alle Drehmomente der Kräfte (inkl. Gravitationskraft) bezüglich der festen Achse gleich der Änderungsrate des Drehimpulses ist. Dieser Drehimpuls setzt sich aus Eigendrehimpuls und Bahndrehimpuls zusammen.

ebene Betrachtungsweise

Beim Rotator ist nur die z-Komponente des Drehimpulses frei bilanzierbar. Nimmt man nur die Kraftkomponente, die normal zur Achse und normal zur Radialkomponente von s (R) steht, kann die z-Drehimpulsbilanz ohne Vektorkalkül geschrieben werden

[math]\sum_i M_i + \sum_j R_j F_{tj} = (J+ m R_{MMP}^2) \dot \omega[/math]