Drehimpulsquelle und Bahndrehimpuls
Ein System kann Impuls speichern und auf drei verschiedene Arten austauschen. Dabei nennt man die Stärke des leitungsartigen Impulstransports durch die Systemoberfläche und des quellenartigen Austausches mit dem Gravitationsfeld Kraft. Eine analoge Unterscheidung macht beim Drehimpuls wenig Sinn, weil der Drehimpuls nicht lokalisierbar ist. Eine Dichte oder eine Stromdichte wie bei der elektrischen Ladung, dem Impuls oder der Entropie lässt sich beim Drehimpuls nicht definieren.
Geht man dagegen von ganzen Bauteilen aus, darf ein Drehimpulsinhalt, ein Drehimpulsstrom oder eine Drehimpulsquelle definiert werden. Daneben wird der Drehimpuls auch in der gegenseitigen Bewegung zweier Körper als Bahndrehimpuls gespeichert.
Lernziele
Drehimpulsströme
Drehimpuls, der in einer Antriebswelle in seine eigene Richtung transportiert wird, verdreht die Welle zu einer Linksschraube. Wird ein Stab zu einer Rechtsschraube verdreht, fliesst der Drehimpuls gegen seine Bezugsrichtung. Drehimpulsströme werden wie elektrische Ströme oft im Kreis herum geführt, wie man am Beispiel der Ständerbohrmaschine gut erkennen kann. Sobald der Bohrer am Werkstück ansetzt, bildet sich ein Keisstrom aus. Dabei belädt der Motor den Drehimpulsstrom mit der Energie, die dieser bei der Schneide des Bohrers wieder frei setzt. Verfolgt man den ganzen Kreis, stellt man fest, dass der Drehimpulsstrom beim vorwärts und rückwärts Fliessen das Bauteil auf Torsion beansprucht. Im Bohrtisch und der Halterung des Motors erzeugt der seitwärts fliessende Drehimpuls dagegen Biegung. Legt man eine Schnitt- oder Referenzfläche quer zum Drehimpulsstrom, nennt man die beiden so erzeugten Drehmoment je nach Belastung Torsionsmoment oder Biegemoment.
Torsion
Drehimpulsströme lassen sich nur indirekt, über die sie begleitenden Impulsströme nachweisen. Wird ein Bauteil auf Torsion belastet, muss der Drehimpulsstrom von einem Impulsstrom umhüllt sein. Wählt man die z-Achse in Richtung des Drehimpulstransportes, wird die in z-Richtung fliessende Drehimpulskomponente von einem z-Impulsstrom vollständig umhüllt. Stellt man sich die Stromlinien des Impulses als Höhenlinie vor, entspricht das Volumen des zugehörigen Berges der Stärke des Drehimpulsstrom. So ist ein seitlich offenes U-Profil viel weniger torsionssteif als ein geschlossenes Rohr. Im Rohr bilden die Stromlinien des querfliessenden Impulses einen voluminösen Tafelberg, während beim offenen U-Rohr nur eine atollförmige Struktur mit kleinem Volumen zu erkennen ist. Eine analoge "Verweichlichung" stellt sich ein, wenn man ein Kartonrohr längs einer Mantellinie aufschlitzt. Der vorher um das ganze Rohr fliessende Impulsstrom wird beim Schlitz zur Umkehr gezwungen. Mit dem Aufschneiden des Rohres wird aus dem Tafelberg wieder ein Atoll. Weil man die Dichte eines querfliessenden Impulsstromes Schubspannung nennt, spricht der Ingenieur hier von der Schubflussumkehr beim Schlitz.
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Vierkantrohr
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U-Profil
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geschlitztes Rohr
Biegung
Drehimpuls, der quer zu seiner Bezugsrichtung fliesst, belastet das Bauteil auf Biegung. Bei dieser Belastung begrenzen Impulsströme den Drehimpulsstrom auf beiden Seiten. Fliesst zum Beispiel z-Drehimpuls in x-Richtung, muss dieser Transport in y-Richtung durch einen x-Impulsstrom begrenzt sein. So ist H-Balken besonders biegesteif, weil in seinen Gurten grosse Impulsströme fliessen können. Auf der einen Seite fliessen diese Impulsströme vorwärts (Druck) und auf der andern rückwärts (Zug) durch die Gurten und beranden so einen starken Drehimpulsstrom. Ein Vierkantprofil hat eine ähnliche Biegesteifigkeit wie der H-Träger, weist aber, wie weiter oben schon erklärt worden ist, eine viel grössere Torsionssteifigkeit auf.
Bei einem massiven Balken nehmen die Zug- und Druckspannungen mit dem Abstand zu den neutralen Fasern zu. Die Impulsströme sind demnach um so intensiver, je weiter entfernt sie von den unbelasteten Fasern durch den Balken fliessen. Man darf nun analog zur Torsion behaupten, dass der Drehimpulstrom in der Mitte des Querschnitts, bei den neutralen Fasern, am stärksten ist und nach aussen progressiv abnimmt: der Drehimpuls wird dort am meisten geschwächt, wo die grössten Impulsstromdichten auftreten. An den beiden Aussenflächen, dort wo die Impulsströme am intensivsten sind, geht der Drehimpulsstrom auf Null zurück.
Spiegel
Betrachtet man die Bohrmaschine im Spiegel, fliesst der Drehimpuls in die andere Richtung, da im Spiegel eine Links- in eine Rechtsschraube übergeht. Weil gleichzeitig die Winkelgeschwindigkeit das Vorzeichen vertauscht, ändert sich am Energietransport nichts. Hinter dem Spiegel verwandelt sich ein rechtshändiges Koordinatensystem in ein linkshändiges, rechtsdrehende Propeller werden zu linksdrehenden und die Magnetfelder umhüllen den Strom im entgegen gesetzten Sinn. Dennoch ist die Welt hinter dem Spiegel für uns in Ordnung. Erst die neuere Physik hat gezeigt, dass es Prozesse gibt, die hinter dem Spiegel anders verlaufen als in der realen Welt.
Getriebe
In jedem Getriebe treffen mindestens drei Drehimpulsstrom aufeinander. Im stationären Betrieb reduziert sich die Drehimpulsbilanz zum Knotensatz. Bezüglich der Energie ist das Getriebe ein Umlader. Üblicherweise fliesst ein Drehimpulstrom ohne Energiebeladung über das Gehäuse. Anders beim Planetengetriebe! Da werden alle drei Drehimpulsströme über Wellen zu- oder abgeleitet. Folglich ist beim Planetengetriebe die Summe über alle drei Drehmomente gleich Null
- [math]M_S+M_H+M_T=0[/math]
Arbeitet das Getriebe reibungsfrei, ist die Summe über alle Energieströme (Leistungen der Drehmomente) ebenfalls gleich Null
- [math]\omega_S M_S+\omega_H M_H+\omega_T M_T=0[/math]
Diese zwei Gleichungen verknüpfen zusammen mit der kinematischen Grundgleichungen sechs Grössen (drei Winkelgeschwindigkeiten und drei Drehmomente).
Hebelgesetz
In einem verdrehten Balken fliesst der Drehimpuls in seine Bezugsrichtung, in einem gebogenen Balken seitlich. Jeder Drehimpulsstrom muss durch Impulsstöme begrenzt werden (Wirbelstrom der gleichen Komponente bei Torsion, Berandungsstrom der Impulskomponente, welche zur Transportrichtung gehört, bei Biegung). Diese bildhafte Vorstellung ist korrekt, aber leider noch nicht umfassend. Wie beim Impuls treten beim Drehimpuls neben den eigentlichen Strömen auch noch Quellen auf. Diese Quellen werden durch das Hebelgesetz beschrieben.
Betrachten wir dazu ein Körper, der an einem Galgen hängt.
Brücken
Brücken haben die Aufgabe, den gravitativ zufliessenden Impuls seitwärts abzuleiten. Dies geschieht durch geschickt angeordnete Zug- und Druckstäbe, Seile, Bögen oder bei neueren Brücken durch einen Hohlkasten. Alte Eisenbahnbrücken weisen oft beidseits der Fahrbahn je ein Fachwerk auf. Befindet sich ein Zug auf der Brücke, leiten diese Fachwerke den z-Impuls (Vertikalkomponente) auf einem Zickzackweg seitwärts an die Widerlager ab. Dabei belastet der seitwärts fliessende z-Impuls die Stäbe abwechselnd auf Zug und auf Druck. Zudem werden Kreisströme des x-Impulses (Horizontalkomponente) induziert, die im unteren Gurt gegen die x-Achse (Zug) und im oberen Gurt in positive x-Richtung fliessen. Das ganze Fachwerk verhält sich somit ähnlich wie ein Balken. Nur wird dank den Zwischenräumen viel Material gespart.
Autobahnbrücken weisen unter der Fahrbahn oft ein Kasten aus Stahlbeton (Hohlprofil) auf. Der von der Fahrbahn zufliessende und bei den Pfeilern direkt an die Erde abgeleitete z-Impulsstrom erzeugt auf seinem Weg durch die seitlichen Wände des Kastenträgers Drehimpulsquellen und -senken. Indem die Quellen die Senken speisen, bildet sich zwischen den Pfeilern ein y-Drehimpulsstrom aus. Die diesen Strom begleitenden x-Impulsströme belasten den Beton auf Druck und die eingelegten Stahlstäbe auf Zug. Die Stärke des längs des Kastens fliessenden Drehimpulsstromes nennt der Baustatiker Biegemomentenverlauf.