Kreisprozesse

Reale Prozesse, wie sie in Wärmepumpen und Wärmekraftmaschinen ablaufen, können durch Kreisprozesse näherungsweise erklärt werden, d.h. Kreisprozesse bilden eine Idealisierung der realen Vorgänge. Aus dem Wort Kreisprozess geht hervor, dass das Gas zyklisch die gleichen Zustände durchläuft. Der Carnot-Prozess ist nur vom historischen Interesse. Anhand dieses Prozesses hat Rudolf Clausius die Entropie als Zustandsgrösse hergeleitet. Viele Physikkurse folgen bei der Einführung der Entropie immer noch den Ideen von Clausius und verschleiern damit, dass es sich bei der Entropie um eine Primärgrösse handelt, die man nicht aus fundamentaleren Grössen herleiten kann. Der Stirling-Prozess wird in den von Robert Stirling erfunden Motoren näherungsweise realisiert. Für die Technik von zentraler Bedeutung ist der Joule-Prozess, weil das Gas in Gastubinen und Strahltriebwerken in erster Näherung diesen Kreisprozess durchläuft.

Lernziele

Sie lernen in dieser Vorlesung

Basisprozesse

In der letzten Vorlesung haben Sie gelernt, wie man mit Hilfe eines systemdynamischen Modells die vier Basisprozess simuliert. Weil das Gas bei diesen Prozessen lauter Gleichgewichtszustände durchläuft, ist eine Simulation erst erforderlich, wenn man das Verhalten des idealen Gases mit Wärmeleitung und weiteren Vorgängen kombiniert. Hier soll das für die Handrechnung erforderliche Wissen nochmals dargelegt werden.

isochor

Beim isochoren Heizen oder Kühlen wird Entropie bei konstant gehaltenem Volumen zu- oder abgeführt. Der hydraulische Zugang muss beim Carnotor geschlossen und der thermische aktiviert sein. Isobare Prozess werden durch folgende Beziehungen beschrieben

Prozess	thermisch	kalorisch	entropisch
isochor	[math]\frac pT=\frac{nR}{V}[/math] = konst.	[math]\Delta W=n\hat c_V\Delta T[/math]	[math]\Delta S=n\hat c_V\ln{\frac{T_2}{T_1}}[/math]

Die molare Energiekapazität (Wärmekapazität bei konstantem Volumen) ist gleich der Zahl der Freiheitsgrade der Teilchen mal die halbe universelle Gaskonstante [math]\hat c_V=\frac f2 R[/math].

isobar

Beim isobaren Heizen oder Kühlen wird Entropie bei konstant gehaltenem Druck zu- oder abgeführt. Der hydraulische Zugang muss beim Carnotor auf Freilauf geschaltet und der thermische aktiviert sein. Die Stärke des zufliessenden Wärmestromes ist gleich der Änderungsrate der Enthalpie

[math]I_{W_{therm}}=\dot H=n\hat c_p\dot T=\dot W+p\dot V=n\hat c_V\dot T+nR\dot T[/math]

In der letzten Umformung ist die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases verwendet worden. Daraus folgt für die molare Enthalpiekapazität (Wärmekapazität bei konstantem Druck) der idealen Gase [math]\hat c_p=\hat c_V+R[/math]. Die molare Enthalpiekapazität (Wärmekapazität bei konstantem Druck) idealer Gase ist gleich der Zahl der Freiheitsgrade plus zwei mal die halbe universelle Gaskonstante [math]\hat c_p=\frac{f+2}{2}R[/math].

Das isobare Heizen oder Kühlen von idealem Gas wird durch folgende Gleichungen beschrieben

Prozess	thermisch	kalorisch	entropisch
isobar	[math]\frac VT=\frac{nR}p[/math] = konst.	[math]\Delta H=n\hat c_p\Delta T[/math]	[math]\Delta S=n\hat c_p\ln{\frac{T_2}{T_1}}[/math]

isentrop

Beim isentropen Komprimieren oder Expandieren ändert sich die Entropie des Gases nicht. Der hydraulische Zugang des Carnotor ist aktiviert und der thermische geschlossen. Aus der Beschreibung der Entropie in Funktion des Volumens und der Temperatur

[math]\Delta S=n\left(\hat c_V\ln{\frac{T_2}{T_1}}+R\ln{\frac{V_2}{V_1}}\right)=0[/math]

folgt

[math]\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^R=\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\hat c_V}[/math]

Diese Gleichung wird meist mit Hilfe des Isentropenexponenten κ, dem Verhältnis von Enthalpie- zu Energiekapazität, beschrieben

[math]\kappa=\frac{\hat c_p}{\hat c_V}=\frac{\hat c_V+R}{\hat c_V}=\frac{f+2}{f}[/math]

Der Isentropenexpoenent beträgt für Edelgase 3/2 und für Luft 1.4. Mit Hilfe der thermischen Zustandsgleichung des idealen Gases kann diese Beziehung auf die Zustandsgrössen Druck und Volumen bzw. Druck und Temperatur umgerechnet werden

Prozess	thermisch	kalorisch	entropisch
isentrop	[math]\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\kappa-1}=\frac{T_1}{T_2}[/math] [math]\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^\kappa=\frac{p_1}{p_2}[/math] [math]\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{\kappa-1}{\kappa}}=\frac{T_1}{T_2}[/math]	[math]\Delta W=n\hat c_V\Delta T[/math]	[math]\Delta S=0[/math]

Hier erscheint die Wärmekapazität bei konstantem Volumen, obwohl bei diesem Prozess keine thermische Energie ausgetauscht wird und das Volumen nicht konstant bleibt. Die Bezeichnung Energiekapazität wäre deshalb die treffendere Bezeichnung. Die mittlere Form unter den thermischen Zustandsgleichungen für den isentropen Prozess hat eine gewisse Ähnlichkeit mit dem Boyleschen Gesetz [math]pV^\kappa=konst.[/math].

isotherm

Beim isothermen Komprimieren oder Expandieren wird unkontrolliert Entropie mit der Umgebung ausgetauscht. Der hydraulische Zugang des Carnotors ist aktiviert und der thermische auf Freilauf geschaltet. Die innere Energie bleibt infolge gleich bleibender Temperatur konstant. Deshalb ist die Summe aus thermischem und mechanischem Energiestrom gleich Null. Bei der isothermen Prozessführung wird also Arbeit vollständig in Wärme bzw. Wärme vollständig in Arbeit umgewandelt. Bildlich gesprochen wird bei der Kompression die mechanisch zugeführte Energie auf die abfliessende Entropie und bei der Expansion mit der Entropie zugeführte Energie auf einen mechanischen Träger (Impuls oder Volumen) umgeladen.

Das isotherme Komprimieren oder Expandieren von idealem Gas wird durch folgende Gleichungen beschrieben

Prozess	thermisch	kalorisch	entropisch
isotherm	[math]pV=nRT[/math] = konst.	[math]\Delta W=0[/math]	[math]\Delta S=nR\ln{\frac{V_2}{V_1}}[/math]

Die Arbeit lässt sich, wie in der letzten Vorlesung gezeigt, durch direkte Integration der Druck-Volumen-Beziehung berechnen, oder über die Wärme, die bei konstanter Temperatur gleich ausgetauschte Entropie mal diese Temperatur ist

[math]W_{mech}=-W_{therm}=-TS_{aus}=-T\Delta S=nRT\ln{\frac{V_1}{V_2}}[/math]