Lösung zu Kühlen von Wasser
Antwort 1
Die pro Kilogramm abgegebene Wärmeenergie ist gleich der Änderung der spezifischen Enthalpie des Wassers [math]\Delta h = c (T_s - T_v) - q[/math] = 4.19 kJ/kg/K * (273 K - 373 K) - 334 kJ/kg = -753 kJ/kg. Die Wärmepumpe transportiert diese Energie zusammen mit der spezifischen Entropie [math]s = \frac {-\Delta h}{T_K}[/math] = 3.10 kJ / (kg K) reversibel von der tiefen Temperatur TK = 243 K auf die hohe Temperatur TW = 323 K. Dafür muss die Pumpe pro Kilogramm mindestens eine Energie WWP = (TW - TK) * s = 248 kJ aufwenden.
Antwort 2
Eine solche Maschine müsste zuerst als reversible Wärmekraftmaschine (WKM) zwischen Wasser als Wärmereservoir der hohen Temperatur und der Umgebung als Reservoir der tiefen Temperatur arbeiten und dabei das Wasser bis zur Umgebungstemperatur abkühlen. Anschliessend müsste sie als reversible Wärmepumpe (WP) zwischen dem Wasser als tiefem Reservoir und der Umgebung als hohem Reservoir arbeiten und dabei das Wasser weiter bis zum Gefrierpunkt abkühlen und zusätzlich noch gefrieren.
Im ersten Teil des Prozesses kühlt sie als WKM das Wasser von 373 K auf die Umgebungstemperatur von 298 K ab. Dabei wird eine spez. Entropie s1 vom Wasser in die Umgebung transportiert, die der spez. Entropieabnahme Δs1 des Wassers entspricht: s1 = - Δs1 = - 4.19 kJ/kg/K * ln(298 K / 373 K) = 0.941 kJ/kg/K. Die dabei als Arbeit freigesetzte Energie w1 entspricht der Differenz zwischen der dem Wasser entnommenen und der der Umgebung zugeführten Energie. Die freigesetzte spez. Energie w1 wird also w1 = - Δh1 - s1 * TU = - 4.19 kJ/kg/K * (298 K - 373 K) - 0.941 kJ/kg/K * 298 K = 314 kJ/kg - 280 kJ/kg = 34 kJ/kg. Diese Energie müsste man in einem zusätzlichen Speicher zwischenspeichern können.
Mit dieser gespeicherten Energie pumpt die Maschine im zweiten Teil des Prozesses als reversible WP eine spez. Entropie s2 = -Δs2 = - (4.19 kJ/kg/K * ln(273 K / 298 K) - 334 kJ/kg / 273 K) = 1.59 kJ/K vom zu kühlenden Wasser auf die Umgebungstemperatur hoch. Dafür braucht sie aus dem Zwischenspeicher eine Energie, die der Differenz zwischen der an die Umgebung abgegebenen und der dem Wasser entzogenen Energie entspricht. Diese spez. Energie beträgt w2 = 298 K * 1.59 kJ/K - (4.19 kJ/kg/K * (298 K - 273 K) + 334 kJ/kg) = 474 kJ/kg - (105 + 334) kJ/kg = 35 kJ/kg.
In beiden Prozessteilen würde die Maschine also mit dem zu kühlenden Wasser und der Umgebungstemperatur als Wärmereservoire arbeiten. Beim Gesamtprozess nimmt die spezifische Entropie des Wassers um [math]\Delta s = c \ln(T_s/T_v) - q/T_s[/math] = 4.19 kJ/kg/k * ln(273 K / 373 K) - 334 kJ/kg / 273 K = - 2.53 kJ/kg/K ab. Weil beide Prozessteile reversibel sind, transportiert die Entropie deshalb eine spezifische Energie wu = Tu * -Δs = 298 K * 2.53 kJ/kg/K = 754 kJ/kg Energie in die Umgebung, welche ja eine konstante Temperatur von (Tu = 298 K) hat.
Vergleicht man diesen Wert mit der Änderung der spezifischen Enthalpie (siehe Teilaufgabe 1), ist kaum ein Unterschied auszumachen. Die Maschine arbeitet zuerst als Wärmekraftmaschine, bis das siedende Wasser auf 25°C abgekühlt ist. Danach muss sie die Wärme pumpen, bis alles Wasser gefroren ist. Die im ersten Teilprozess freigesetzte Energie entspricht in etwa der für den zweiten Teilprozess aufzuwendenden Energie. Deshalb ist der totale, reversibel geführte Prozess von der umgesetzten Energie her gesehen ziemlich neutral.
Wir beurteilen die Energie, die wir zum Heizen und Kühlen benötigen, eher im Sinne der zweiten Prozessführung. Um einen Körper wärmer oder kälter als die Umgebung zu machen, müssen wir Energie aufwenden. Kalte und heisse Milch, die auf den Küchentisch gestellt werden, nehmen dann von selbst die Temperatur der Umgebung an. Weil unsere Maschinen nicht ideal arbeiten und weil wir die Entropie zum Heizen meistens erzeugen statt pumpen, sind für uns Heizen und Kühlen nicht unbedingt symmetrische verlaufende Prozesse. In den Schulen wird die zum irreversiblen Erwärmen der Milch notwendige Energie oft im Physikunterricht berechnet. Die Frage nach dem Energieaufwand zum Kühlen der Milch scheint die meisten Physiklehrer dagegen kalt zu lassen.