Druckgesetz der Hydrostatik

Der Druck in einer ruhenden Flüssigkeit nimmt durch die Wirkung des Gravitationsfeldes mit der Eintauchtiefe zu. Diese Druckzunahme wird durch das Druckgesetz der Hydrostatik beschrieben.

homogenes Gravitationsfeld

Das Druckgesetz der Hydrostatik kann mit Hilfe einer Energiebilanz formuliert werden. Dazu wählt man zwei Punkt in der Flüssigkeit aus und denkt sich eine ganz langsame Strömung von Punkt eins nach Punkt zwei. Diese Strömung soll so klein sein, dass sie praktisch keine Reibung verursacht und fast keine kinetische Energie benötigt. Dann gelten die Voraussetzungen des Gesetzes von Bernoulli:

[math]\left(\frac {\rho}{2} v_1^2 + \rho g h_1 + p_1 \right) I_V{_1} + \left(\frac {\rho}{2} v_2^2 + \rho g h_2 + p_2 \right) I_V_2 = 0 [/math]

Nun lässt man die Strömungsgeschwindigkeit gegen Null gehen und löst diese Beziehung nach dem Druck in Punkt zwei auf

[math]p_2 = p_1 + \rho g (h_1 - h_2) = p_1 + \rho g \Delta h[/math]

Der Druck in einer Flüssigkeit steigt proportional zur Eintauchtiefe, wobei der Proportionalitätsfaktor gleich Dichte mal Gravitationsfeldstärke ist. Im häufigsten Fall, beim Eintauchen in Wasser, nimmt der Druck pro zehn Meter Wassertiefe um ein paar zu.

Zentrifugalfeld

Die allgemeine Form des Gesetzes von Bernoulli lautet

[math]\frac {\rho}{2} v_1^2 + \rho \varphi_G + p_1 = \frac {\rho}{2} v_2^2 + \rho \varphi_G + p_2 [/math]

Setzt man die Geschwindigkeiten gleich Null (ruhende Flüssigkeit) und löst die Gleichung nach dem Druck im Punkt zwei auf, gewinnt man die allgemeine Druckformel für Flüssigkeiten in einem Gravitationsfeld

[math]p_2 = p_1 + \rho (\varphi_{G1} - \varphi_{G2}) = p_1 + \rho \Delta \varphi_G[/math]

Die Druckänderung in einer ruhenden Flüssigkeit ist gleich Dichte mal die Änderung des Gravitationspotenzials. Folglich weisen Punkte, die auf einer Äquipotenzialfläche des Gravitationsfeldes liegen, den gleichen Druck auf.

Setzt man in diese Formel das Gravitationspotenzial eines Zentrifugalfeldes ein, erhält man das Druckgesetz für Flüssigkeiten in einer Zentrifuge

[math]p_2 = p_1 + \rho \frac {\omega^2}{2}(r_2^2 - r_1^2) = p_1 + \rho \omega^2 \overline r \Delta r[/math]

Der Druckunterschied in einer Zentrifuge ist proportional zur Dichte der Flüssigkeit, proportional zum Quadrat der Drehzahl, proportional zum mittleren Abstand von der Drehachse und proportional zur radialen Distanz der beiden Punkte.

Himmelskörper

Die Gravitationsfeldstärke im Innern eines radialsymmetrisch aufgebauten Himmelskörpers ist gleich

[math]g(r_0) = \frac {4 \pi G}{r_0^2} \int_0^{r_0} \rho (r) r^2 dr[/math]

Nimmt man an, dass die Dichte im ganzen Himmelskörper homogen ist, erhält man eine im Himmelskörper linear wachsende Gravitationsfeldstärke

[math]g(r) = \frac {4\pi} {3} \rho G r[/math]

Setzt man das Gravitationspotenzial im Zentrum des Himmelskörpers gleich Null, nimmt dieses quadratisch mit dem Radius zu

[math]\varphi_G = \frac {2\pi} {3} \rho G r^2[/math]

Das verallgemeinerte Gesetz von Bernoulli (siehe weiter oben) liefert dann die Druckzunahme im homogenen Himmelskörper

[math]p_2 = p_1 + \frac {2\pi} {3} \rho G (r_1^2 - r_2^2)[/math]

Bei erdähnlichen Planeten oder Neutronensternen kann mit dieser Formel der Druck im Zentrum mit Hilfe der mittleren Dichte abgeschätzt werden.