Dynamische Systeme höherer Ordnung
Lernziele
Problemstellung
Zwei zylinderförmige Gefässe sind über ein bodennahes Röhrchen miteinander verbunden. Solange das eine Gefäss höher als das andere mit Wasser gefüllt ist, fliesst ein Ausgleichsstrom. Nimmt man Öl statt Wasser, bleibt die Strömung laminar und wir können den Ausgleichsvorgang mit einer Exponentialfunktion beschreiben. Nun denken wir uns das Röhrchen immer dicker bis ein mit Wasser gefülltes U-Rohr vor uns steht. Dann erfolgt der Ausgleichsvorgang nicht mehr über einen einmal abklingenden Volumenstrom, sondern über einen abklingend-oszillierenden Volumenstrom. Wäre die Flüssigkeit suprafluid, würde die Oszillation oder Schwingung überhaupt nicht mehr abklingen.
Das Verhalten des U-Rohrs kann durch zwei Speicher mit konstanter Kapazität und einem Leiter mit Widerstand und Induktivität modelliert werden. Analoge Systeme kennt man aus der Elektrodynamik (zwei über eine Spule verbunden Kondensatoren), aus der Translationsmechanik (zwei über eine Feder verbundene Luftkissenfahrzeuge) und aus der Rotationsmechanik (zwei über eine Drehfeder verbundene Schwungräder). Dominiert das Widerstandselement (Strömungswiderstand, elektrischer Widerstand der Spule, Dämpfer in Serie zur Feder), klingt der Potentialunterschied (Druck, Spannung, Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit) exponentiell ab, falls sich alle Elemente linear verhalten.
Dynamischen Systemen, die aus zwei Speichern bestehen und die über einen Leiter miteinander verbunden sind, können mathematisch zu einem System mit nur einem Speicher mit reduzierter Kapazität zusammenfasst werden. Systeme mit einem oder zwei Speicher und einer Induktivität, die also zwei unabhängig Energiespeicher besitzen, nennt man Systeme 2. Ordnung, weil man zur Berechnung des Verhaltens zweimal integrieren muss.
Speicher und Leiter
Speicher mit konstanter Kapazität und Leiter mit linearem Widerstand und linearer Induktivität findet man in der Hydrodynamik, der Elektrodynamik, der Translationsmechanik und der Rotationsmechanik.
| Gebiet | Speicher | Widerstand | Induktivität | Bemerkung |
|---|---|---|---|---|
| Hydrodynamik | [math]\Delta p=\frac{\Delta V}{C_V}=\frac{\varrho g\Delta V}{A}[/math] | [math]\Delta p=R_VI_V[/math] | [math]\Delta p=L_V\dot I_V[/math] | laminare Strömung |
| Elektrodynamik | [math]U=\frac{Q}{C}[/math] oder [math]\dot U=\frac{I}{C}[/math] | [math]U=RI[/math] | [math]U=L\dot I[/math] | Kondensator |
| Translationsmechanik | [math]v_x=\frac{p_x}{m}[/math] | [math]\Delta v_x=R_{px}F_x[/math] | [math]\Delta v_x=L_{px}\dot F_x[/math] | Federgesetz |
| Rotationsmechanik | [math]\omega_x=\frac{L_x}{J_{xx}}[/math] | [math]\Delta \omega_x=R_{Lx}M_x[/math] | [math]\Delta \omega_x=L_{Lx}\dot M_x[/math] | Drehfedergesetz |
Die mechanischen Systemparameter sind oft reziprok definiert. So ist der Impulswiderstand gleich dem Reziprokwert der Dämpferkonstanten und die mechanische Induktivität gleich dem Reziprokwert der Federkonstanten.