Energie-Impuls-Tensor

Der Energie-Impuls-Tensor beschreibt die Dichte (erste Spalte) und die Stromdichte (restlichen drei Spalten) der Energie und des Impulses:

[math]\left(T^{\alpha\beta}\right)=\begin{pmatrix}\varrho_W & \frac{j_{W_x}}{c} & \frac{j_{W_y}}{c} & \frac{j_{W_z}}{c}\\ c\varrho_{p_x} & j_{p_{xx}} & j_{p_{xy}} & j_{p_{xz}} \\ c\varrho_{p_y} & j_{p_{yx}} & j_{p_{yy}} & j_{p_{yz}} \\ c\varrho_{p_z} & j_{p_{zx}} & j_{p_{zy}} & j_{p_{zz}} \end{pmatrix}[/math]

• [math]T^{00}=\varrho_W[/math] ist die Energiedichte (Energie pro Volumen)
• [math]cT^{0j}=(j_{W_x},j_{W_y},j_{W_z})[/math] ist eine Energiestromdichte (Energiestromstärke pro Fläche)
• [math]c^{-1}T^{i0}=(\varrho_{p_y},\varrho_{p_y},\varrho_{p_y})^T[/math] ist die Impulsdichte (Impuls pro Volumen)
• [math]T^{ij}=j_{p_{ij}}[/math] ist die Impulsstromdichte (Impulsstromstärke pro Fläche)
• [math]c[/math] die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

Der Impuls-Energie-Tensor ist symmetrisch, kann somit lokal in eine Diagonalform transformiert werden. Die Energiestromdichte ist deshalb gleich der Impulsdichte mal das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit.

Festkörper

Im ruhenden Festkörper nimmt der Energie-Impuls-Tensor die folgende Form an

[math]\left(T^{\alpha\beta}\right)=\begin{pmatrix}c^2\varrho & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\sigma_{xx} & -\sigma_{xy} & -\sigma_{xz} \\ 0 & -\sigma_{yx} & -\sigma_{yy} & -\sigma_{yz} \\ 0 & -\sigma_{zx} & -\sigma_{zy} & -\sigma_{zz} \end{pmatrix}[/math]

Der Zeit-Zeit-Teil beschreibt die Dichte mal die Lichtgeschwindigkeit im Quadrat und der Raum-Raum-Teil ist gleich dem negativen Spannungstensor.

Wendet man nun eine spezielle Lorentz-Transformation (Transformation der Zeit- und x-Achse) auf den Energie-Impulstensor an, folgt für [math]\alpha,\beta=0,1[/math]

[math]\left(T^{\alpha\beta}\right)=\frac{1}{1-\frac{v_x^2}{c^2}}\begin{pmatrix}(c^2+v_x^2)\varrho-\sigma_{xx}\frac{v_x^2}{c^2} & \left(c\varrho-\frac{\sigma_{xx}}{c}\right)v_x\\ \left(c\varrho-\frac{\sigma_{xx}}{c}\right)v_x & \left(\varrho-\frac{\sigma_{xx}}{c^2}\right)v_x^2 -\sigma_{xx}\end{pmatrix}[/math]