Lösung zu Aviatik 2009/3

Aufgabe 1

Der Zug nimmt während [math]\Delta t=\frac{\Delta s}{v}=\frac{540m}{18m/s}=30s[/math] Wasser auf. Dies ergibt einen Volumenstrom der Stärke [math]I_V=\frac{\Delta V}{\Delta t}=\frac{9m^3}{30s}=0.3m^3/s[/math]. Folglich strömt das Wasser im Mittel mit [math]v_{rel}=\frac{I_V}{A}=10 m/s[/math] durch das Rohr.
Von der Lok aus gesehen fliesst das Wasser mit 10 m/s nach hinten. Aus der Sicht eines Streckenwärters bewegt sich das Wasser mit 8 m/s nach vorn. Um den Wasserstrom auf diese Geschwindigkeit zu beschleunigen, muss eine Prozessleistung von [math]P=\frac{\varrho}{2}v^2I_V=500kg/m^3*\left(8m/s\right)^2*0.3m^3/s=9.6 kW[/math] aufgewendet werden.
Eine Kraft ist eine Impulsstromstärke bezüglich eines ausgewählten Systems. Wir schneiden deshalb den unteren, gekrümmten Teil des Rohres frei. Nun darf auch ein konvektiver Impulsstrom als Kraftpfeil eingezeichnet werden. Diese Kraft hat eine Stärke von [math]I_{p_{conv}}=v_{rel}\varrho I_V=3kN[/math].Zudem zeigt der Kraftpfeil beim Eintritt in und beim Austritt gegen die Strömungsrichtung. Die gesuchte Kraft ergibt sich aus der Gleichgewichtsforderung (Summe über alle Kräfte gleich Null). Aus dem Kräfteplan entnimmt man [math]F=2I_{p_{conv}}\sin(22.5^\circ)[/math] = 2296 N.
Diese Frage löst man mit Hilfe des Gesetzes von Bernoulli (Vergleich des totalen Energiestromes bezüglich zweier Referenzflächen entlang der stationären, reibungsfreien Strömung eines inkompressiblen Fluids. Somit gilt

[math]\frac{\varrho}{2}v_1^2=\frac{\varrho}{2}v_2^2+\varrho gh_2[/math]

Daraus folgt

[math]v_2=\sqrt{v_1^2-2gh_2}[/math] = 16 m/s

Man beachte, dass von der Lok aus gesehen das Wasser im Trog anfänglich mit 18 m/s auf das Schöpfrohr zu fliesst.