Lösung zu Rakete im Gravitationsfeld

Die eindimensionale Impulsbilanz für offene Systeme, welche die Summe über alle leitungsartigen und konvektiven Impulsströme zusammen mit der gravitativen Impulsquelle gleich der Änderungsrate des Impulsinhaltes setzt, kann etwas konkreter formuliert werden, indem man

• die Stärken der leitungsartigen Impulsströme als Kräfte bezeichnet,
• die konvektiven Impulsströme durch Massenstromstärke mal zugehörige Ausströmgeschwindigkeit ersetzt,
• die gravitative Impulsquelle als Masse mal Gravitationsfeldstärke schreibt,
• den Impulsinhalt durch das kapazitive Gesetz der Translationsmechanik (Impulsinhalt gleich Masse mal Geschwindigkeit) ausdrückt:

Lösung zu Frage 1

Die Impulsbilanz fasst die leitungsartigen Impulsströme (Kräfte), die konvektiven Impulsströme sowie die Impulsquelle (Gewichtskraft) zur Impulsänderungsrate zusammen

[math] \sum_i F_i + \sum_i v_i I_{mi} + m g = \dot p = \dot m v + m \dot v[/math]

Die allgemeine Massenbilanz besagt, dass die Summe über alle Massenstromstärken gleich der Änderungsrate der Masse ist

[math] \sum_i I_{mi} = \dot m[/math]

Lösung zu Frage 2

Im vorliegenden Beispiel mit der Rakete gibt es keine Oberflächenkräfte (leitungsartige Impulsströme) und nur einen einzigen Massenstrom. Die Geschwindigkeit des ausströmenden Gases im Bezugssystem Erde (Beobachter) ist gleich der Geschwindigkeit der Rakete (v) minus der Relativgeschwindigkeit des ausströmenden Gases (c) (Im Bezugssystem Rakete strömt das Gas mit der Geschwindigkeit c aus der Brennkammer heraus). Die Impulsbilanz nimmt deshalb eine einfachere Form an

[math] m g + (v - c) I_m = \dot p = \dot m v + m \dot v[/math]

Setzt man für die Gravitationsfeldstärke - 9 N/kg ein, erhält man eine Impulsänderungsrate von

25000 kg * (-9 N/kg) + 1300 m/s * (-200 kg/s) = -485 kN

Der Impuls der Rakete nimmt ab, weil das Gravitationsfeldes Impuls absaugt und das ausströmende Gas Impuls mitnimmt. Das heisst, dass die

Lösung zu Frage 3

Setzt man die Massenbilanz

[math] I_m = \dot m[/math]

in die Impulsbilanz ein, erhält man eine sehr kompakte Formel, die an das Grundgesetz der Mechanik erinnert

[math] m g - c I_m = m \dot v[/math]

Daraus lässt sich die Beschleunigung ermitteln

[math]\dot v = g - c \frac {I_m}{m}[/math] = 20.6 m/s²

Die Beschleunigung der Rakete ist trotz negativer Impulsänderungsrate positiv, weil die Rakete Masse abgibt, die mit wenig Impuls beladen ist.

Lösung zu Frage 4

Mathematisch hängt die Beschleunigung wie folgt mit der Impulsänderungsrate zusammen

[math]\dot v = \frac {\dot p - \dot m v}{m} = \frac {\dot p}{m} - \frac {I_m}{m} v[/math]

Die Beschleunigung wird kleiner als Null, sobald die (negative) Impulsänderunsrate kleiner als das Produkt aus Massenstromstärke und Geschwindigkeit der Rakete wird.

Aufgabe