Rakete

Rakete als offenes System

Eine Rakete tauscht Impuls über das ausströmende Gas, das Gravitationsfeld und die Oberfläche aus. Wählt man die positive Richtung der z-Achse nach oben, lautet die Impulsblianz

I_{pz, conv.} + Σ_Gz + I_pz = dp_z/dt

Der Impulsinhalt der Rakete kann über das Kapazitivgesetz umgeschrieben werden

p_z = m v_z also dp_z/dt = dm/dt v_z + m dv_z/dt

Der konvektive Impulsstrom darf als Geschwindigkeit des Gases mal Massenstromstärke geschrieben werden. Die Impulsbilanz nimmt, falls man die gravitativ bedingte Impulssenke und die Impulsstromstärke wie üblich als Kraft auf das System Rakete schreibt, die folgende Gestalt an

v_Gas I_m + F_Gz + F_Wid = dm/dt v_z + m dv_z/dt

Ersetzt man die Geschwindigkeit des Gases durch die Geschwindigkeit der Rakete und die Ausströmgeschwindigkeit des Gases (v_Gas = v_z - c) und nimmt noch die Massenbilanz (I_m = dm/dt) dazu, vereinfacht sich die Gleichung auf

-c I_m + F_Gz + F_Wid = m dv_z/dt

Bezeichnet man -c I_m als Schubkraft, nimmt die Impulsbilanz die Form des Aktionsprinzips von Newton an. Diese Lesart ist natürlich unsinnig, da die Newtonmechanik nicht direkt auf offene Systeme angewendet werden kann. Der Impulsinhalt der Rakete nimmt anfänglich zu, um gegen Schluss des Brennvorgangs, dann wenn die Rakentengeschwindigkeit grösser als die Ausströmgeschwindigkeit wird, wieder abzunehmen. Die Beschleunigung der Rakete ist aber immer nach oben gerichtet.

SD-Modell

SD-Modell der Rakete

Das Systemdiagramm der Rakete zeigt im Zentrum die Impulsbilanz, darüber die Massenbilanz und darunter die Integration der Höhe aus der Geschwindigkeit. Obwohl sich hier sowohl der Impuls wie auch die Masse mit der Zeit ändern, ist die Geschwindigkeit immer noch gleich dem Quotienten aus diesen beiden Grössen. Die Systemdiagramme zur Berechnungen der Dichte der Luft und der Gravitationsfeldstärke in Funktion der Höhe sind in den beiden auf der Spitze stehenden Quadraten verpackt.

Relationen und Parameter:

STELLA-Code	Bemerkung
Impuls(t) = Impuls(t - dt) + (Impulsstrom - Luftwiderstand - FG) * dt	Impulsbilanz
Masse(t) = Masse(t - dt) + (Massenstrom) * dt	Massenbilanz
Höhe(t) = Höhe(t - dt) + (v) * dt	Berechnung der Höhe
v = Impuls/Masse	dynamische Geschwindigkeit
Impulsstrom = Massenstrom*(v-c)	konvektiver Impulsstrom
Luftwiderstand = Dichte/2*v*ABS(v)*AcW	Dichte hängt von der Höhe ab
FG = Masse*g	Impulssenke
Massenstrom = IF TIME<145 THEN -2190 ELSE 0	145 s Brenndauer
g = g0*(r0/r)^2; r = Höhe+r0	Erde als Kugel
Dichte = IF Höhe<Kappa/(Kappa-1)*h0 THEN Dichte0*(1-(Kappa-1)/Kappa*Höhe/h0)^(1/(Kappa-1)) ELSE 0	isentrope Atmosphäre
h0 = Druck0/(Dichte0*g0)	Höhe bei inkompressibler Atmosphäre
INIT Masse = 482000	Startmasse
AcW = 20	effektiver Querschnitt
c = 2750	Ausströmgeschwindigkeit
g0 = 9.8; r0 = 6.37E6	in Gravitation
Dichte0 = 1.29; Druck0 = 1.013E5; Kappa = 1.4	in Luft

Die V2/A4-Rakete

Zur V2-Rakete, die Hitler im zweiten Weltkrieg gegen Grossbritannien eingesetzt hat, findet man im Internet folgende Daten

v-t- und h-t-Diagramm

Luftwiderstand

Erststart:	23. Mai 1942
Vollmasse:	12‘428 kg
Leermasse:	2‘850 kg
Sprengkopf:	975 kg
Treibstoff:	8‘610 kg
Durchmesser:	1.65 m
Schub:	270 kN (300 kN Vakuum)
Brenndauer:	63 s
spez. Impuls:	2100 Ns/kg
max. Höhe:	90 km (187 km)
Reichweite:	287- 312 km

Setzt man diese Werte ins SD-Modell ein, erhält man nebenstehend abgebildeten Ergebnisse.