Schiefer Wurf
Problemstellung
Der schiefe Wurf ist das punkmechanisches Modell eines im Vakuum geworfenen Körpers. Dabei betrachtet man nur die Freiflugphase, also die Bewegung kurz nach dem Abwurf bis kurz vor dem Aufprall.
Tragischerweise wird an vielen Schulen anhand dieses Beispiels das Grundgesetz der Mechanik (Kraft gleich Masse mal Beschleunigung) eingeübt und der Energieerhaltungssatz (Summe aus potentieller und kinetischer Energie gleich konstant) erklärt. Dass die Mehrheit der Schüler danach von Translationsmechanik wenig und von der Rolle der Energie nichts verstehen, verwundert kaum, denn der schiefe Wurf ist die Bewegung, bei der gar nichts passiert.
Theorie
Die Impulsbilanz, die bezüglich eines festen Körper besagt, dass die Summe über alle Kräfte gleich der Änderungsrate des Impulsinhaltes ist
[math]\vec F_{res} = \dot {\vec p} = m \dot {\vec v} = m \vec a[/math],
reduziert sich bei einem im Vakuum geworfenen Körpers auf eine rein kinematische Aussage
[math]\vec g = \vec a[/math],
weil die einzige Einwirkung, die Gravitations-, Schwer- oder Gewichtskraft, ebenfalls proportional zur Masse ist.
Nimmt man nun an, dass die Gravitationsfeldstärke im ganzen Gebiet des geworfenen Körpers konstant ist, ändert sich auch seine Beschleunigung nicht. Bezüglich einer horizontalen x- und einer vertikalen y-Achse kann für die Beschleunigung des reibungsfrei geworfenen Körpers als spezieller, zeitunabhängiger Vektor geschrieben werden
[math]\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -g_0 \end{pmatrix}[/math]
Mit einer ersten Integration über die Zeit erhält man das Geschwindigkeitsverhalten
[math]\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_{0x} \\ v_{0x} -g_0 t \end{pmatrix}[/math] ,
wobei der Vektor der Anfangsgeschwindigkeit durch die Dynamik des Abwurfes bestimmt wird.
Eine zweite Integration liefert die Orts-Zeit-Funktion
[math]\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 + v_{0x} t \\ y_0 + v_{0y} t - \frac {1}{2} g_0 t^2 \end{pmatrix}[/math] ,
wobei der Ort des Abwurfes frei gewählt werden kann.
In der Regel wird der Abwurf in den Koordinatenursprung gelegt und die Abwurfgeschwindigkeit mit dem Betrag der Geschwindigkeit v0 und dem Winkel zur Horizontalen α parametrisiert. In diesem Fall nimmt das Orts-Zeit-Verhalten die folgende Gestalt an
[math]\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_0 \cos\alpha t \\ v_0 \sin\alpha t - \frac {1}{2} g_0 t^2 \end{pmatrix}[/math]
Eliminiert man den Parameter t, die Zeit, mit Hilfe der x-Gleichung aus der y-Gleichung, gewinnt man die Bahn des geworfenen Körpers