Ideale Feder

Aus SystemPhysik
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Schraubenfeder

Belastet man eine an einer Querstange befestigte Schraubenfeder mit unterschiedlich grossen Gewichtssteinen, verlängert sich die Feder proportional zur angehängten Last. Diese Gesetzmässigkeit gilt aber nur innerhalb bestimmter Grenzen; bei Überlast verlängert sich die Feder überproportional und federt nach der Entlastung nicht mehr auf die alte Länge zurück.

Die Gewichtssteine wirken als Impulsquellen und die Feder als Impulsleiter. Wählt man die positive z-Richtung nach unten, fliesst z-Impuls mit konstanter Rate (Gravitationsfeldstärke mal Masse) vom Gravitationsfeld in die Steine hinein und von dort über Feder und Querstange weg. Folglich gilt für eine Schraubenfeder in guter Näherung und bis zu einer gewissen Grenze

Eine Schraubenfeder verlängert sich proportional zur Stärke des durchgeleiteten Impulsstromes

Weil sich die Schraubenfeder proportional zur Stärke des hindurch fliessenden Impulsstromes verlängert, werden solche Federn zur Messung von Impulsstromstärken eingesetzt. Eine Federwaage, ein Gerät zur Messung von Impulsstromstärken, besteht aus einer Schraubenfeder, zwei Befestigungshaken und zwei teleskopartig ineinander geschobenen Zylindern, wobei der eine die Skala trägt. Weil die Impulsstromstärke in Newton gemessen wird, heisst die Federwaage auch Newtonmeter.

Die Impulsstromstärke bezüglich eines bestimmten Körpers nennt man Kraft auf diesen Körper. Folglich können dem durch eine Feder fliessenden Impulsstrom zwei Kräfte zugeordnet werden, welche die Feder im Gleichgewicht halten. Dies erklärt, wieso eine Federwaage oft Kraftmessgerät genannt wird, obwohl der Kraft als Attribut eines Körpers keine unabhängige und damit direkt messbare Existenz zugeschrieben werden kann.

Federgesetz

Das idealisierte Verhalten einer Schraubenfeder kann als einfaches Gesetz formuliert werden

[math]I_{px} = D \Delta x[/math]

Die Richtgrösse D (Einheit N/m) beschreibt die „Härte“ der Feder. Der zugehörige Wert entspricht der Impulsstromstärke bei einer Verlängerung um einen Meter.

Formuliert man die Impulsstromstärke als Federkraft F, schreibt sich das Federgesetz als

[math]F = D \Delta s[/math]

Energie

Der durch die Feder fliessende Impulsstrom setzt eine Prozessleistung um, sobald sich die beiden Enden der Feder gegeneinander bewegen

[math]P = I_{px} \Delta v_x = D \Delta x \Delta v_x[/math]

Integriert man die Prozessleistung von der ungespannten Feder über die Zeit auf, erhält man den Anteil der Federenergie, der beim Entspannen wieder freigesetzt werden kann

[math]W_{Feder} = \frac {D}{2} (\Delta x)^2 = \frac { I_{px}^2}{2 D}[/math]

Wird die Feder an einem Ende festgehalten, kann die Federenergie über die Arbeit der Kraft am andern Ende berechnet werden. Dazu betrachtet man die Leistung dieser Kraft, den dem Impulsstrom zugeordneten Energiestrom

[math]P(F) = F_x v_x[/math]

und integriert über die Zeit

[math]W(F) = \int P(F) dt = \int F_x v_x dt = \int F_x dx = \int D x dx = \frac {D}{2} x^2 |_{x_a}^{x_e}[/math]

Die Arbeit der Federkraft W(F) entspricht der Fläche unter der Kurve im Kraft-Weg-Diagramm. Geht man von der ungespannten Feder aus, ist die Arbeit gleich halbe Endkraft mal Federdehnung.

Werden zwei unterschiedliche Federn mit der gleichen Kraft belastet, fliesst also ein gleich starker Impulsstrom durch beide Federn hindurch (Serieschaltung), speichert die weichere Feder mehr Energie. Werden beide Federn um die gleiche Strecke gedehnt (Parallelschaltung), nimmt die härtere Feder mehr Energie auf.

Induktivität

Eine Feder wirkt bezüglich des Impulsstromes induktiv. Um dieses Verhalten zu erkennen, muss man das Federgesetz nach der Zeit differenzieren

[math]\dot I_{px} = D \dot {\Delta x} = \frac {1}{L_p}\Delta v_x[/math]

Die Richtgrösse oder Federkonstante D beschreibt demnach die reziproke Impulsinduktivität Lp.