Lösung zu Aviatik 2009/1

Aufgabe 1

Die Bilanz bezüglich des Gefässes lautet

[math]I_{V_{zu}}-I_{V_{ab}}=\dot V[/math]

Bei dieser Schreibweise wird angenommen, dass die Stromstärke des Abflusses positiv ist, falls das Wasser weg strömt.

1. Das zugeflossene Volumen entspricht der Fläche unter der Volumenstrom-Zeit-Funktion, also 15 Liter.
2. Die Änderungsrate ist als Steigungsmass im Volumen-Zeit-Diagramm zu erkennen. Legt man die Tangente an die Kurve und berechnet deren Steigung, erhält man 2 Liter/Sekunde.
3. In den ersten fünf Sekunden fliessen fünf Liter Wasser zu und der Inhalt steigt ebenfalls um fünf Liter an. Ausserdem nimmt der Inhalt progressiv zu. Dies lässt darauf schliessen, dass nichts abfliesst. Danach bleibt der Zufluss konstant, die Zunahme des Inhalts flacht auf Null ab. Daraus folgt ein zunehmender Abfluss, der beim Zeitpunkt 10 s die gleiche Stärke wie der Zufluss erreicht hat. Weil genau fünf Liter fehlen (Zufluss minus Inhaltsänderung), steigt der Abfluss in den verbleibenden fünf Sekunden von Null auf 2 Liter/Sekunde.
4. Eine konstante Inhaltsänderungsrate von 1 Liter/Sekunde bedingt anfänglich einen Zufluss von 1 Liter/Sekunde, der in den ersten fünf Sekunden linear in einen gleich starken Abfluss übergeht. In den restlichen fünf Sekunden muss der Abfluss bei 1 Liter/Sekunde verharren, damit die Differenz zwischen Zu- und Abfluss ebenfalls 1 Liter/Sekunde beträgt.

Aufgabe 2

1. Die Leistung ist gleich angelegte Druckdifferenz mal Stärke des durchfliessenden Volumenstroms, also im Maximum gleich 5*10^-4 m³/s x 4000 Pa = 2 W.
2. Im Volumenstrom-Druckdifferenz-Zeit-Schaubild zeigt sich dieser Prozess als Pyramide. Deshalb muss die maximale Leistung mal die Zeit gerechnet und dann durch drei geteilt werden. Dies ergibt 3.33 Joule. Man könnte auch das Leistungs-Zeit-Diagramm zeichnen und dann die Fläche unter der Kurve bilden.
3. Der konstanter Strom hätte eine Stärke von 2.5*10^-4 m³/s und würde ein Druckdifferenz von 2000 Pa erzeugen, was eine Leistung von 0.5 W ergäbe. Folglich beträgt der Energieumsatz 2.5 J.
4. Im ersten Prozess beträgt die mittlere Leistung 0.666 W, im zweiten - wie schon erwähnt - 0.5 W.

Aufgabe 3

1. Der hydraulische Widerstand ist als Verhältnis von angelegter Druckdifferenz zur Stärke des durchfliessenden Volumenstroms definiert [math]R_V=\frac{\Delta p}{I_V}[/math] = 1.4*10⁸ Pas/m³ bzw. = 6*10⁷ Pas/m³.
2. Schaltet man die beiden Filter in Serie, steigt der Widerstand auf die Summe der beiden Werte, also auf 2*10⁸ Pas/m³. Für die Parallelschaltung gilt [math]R_V=\frac{R_{V1}R_{V2}}{R_{V1}+R_{V2}}[/math] = 4.2*10⁷ Pas/m³.
3. Die Leistung folgt aus Stromstärke und Widerstand [math]P=\Delta p_2I_V=R_{V2}I_V^2[/math] = 540 W.
4. Bei der Parallelschaltung wird der Strom im umgekehrten Verhältnis zu den Widerständen aufgeteilt [math]\frac{I_{V1}}{I_{V2}}=\frac{R_{V2}}{R_{V1}}=\frac 37[/math]. Es fliessen somit 2.1 l/s durch den kleineren Widerstand, was eine Leistung von [math]P=R_{V2}I_{V2}^2[/math] = 264.6 W ergibt.

Aufgabe 4

1. Der konstante Volumenstrom hat ein Stärke von 0.333 Liter/s.
2. 30 Sekunden nach Beginn des Füllvorgangs sind 10 Liter zugeflossen, was gemäss Graphik zu einem Druck von 7.5 bar führt. Der zugeordnete Energiestrom hat folglich eine Stärke von [math]I_W=pI_V[/math] = 250 W-
3. Die zugeführte Energie entspricht der Fläche unter der p-V-Kurve, was hier etwa 36 kJ ergibt.
4. Die Kapazität ist als Verhältnis von Volumenänderung zu Druckanstieg definiert. Legt man bei einem Füllstand von 20 Liter eine Tangente an die p-V-Kurve und bestimmt dann den Kehrwert der Steigung, erhält man 2.88*10^-9 m³/Pa.

Aufgabe 5

1. Das Volumen des weg geflossenen Quecksilber entspricht der Fläche unter dem Volumenstrom-Zeit-Diagramm und beträgt 20 Liter. Dividiert man diese Menge durch die anfängliche Füllhöhe, erhält man einen Querschnitt von 2 dm².
2. Kurz nach dem Öffnen des Abflusses strömen bei einer Füllhöhe von knapp einem Meter 0.8 Liter/s weg. Der turbulente "Strömungswiderstand" hat folglich den Wert [math]k=\frac{\varrho g h}{I_V^2}[/math] = 2*10¹¹ Pas²/m⁶.
3. Die Änderungsrate der Volumenstromstärke entspricht der Steigung der Tangente an die Kurve beim Zeitnullpunkt. Aus der Simulation entnimmt man einen Wert von 1.54*10^-3 m³/2². Um diesen Wert zu erhalten, müsste man für eine Änderung der Volumenstromstärke von 1 Liter/s einen Zeitabschnitt von 0.65 s heraus lesen, was doch ziemlich schwierig ist und deshalb zu grossen Ungenauigkeiten führt.
4. Die Induktivität ist gleich dem Verhältnis von angelegter Druckdifferenz zur dadurch bewirkten Änderungsrate der Volumenstromstärke [math]L_V=\frac{\Delta p}{\dot I_V}[/math] = 8.6*10⁷ Pas²/m³ (kg/m⁴).

Aufgabe