Lösung zu Erdwärme

Unsere Modellerde hat eine Oberfläche von 5.15 10¹⁴ m². Durch diese Oberfläche fliesst ein Energiestrom der Stärke 3.35 10¹³ W (33.5 TW).
Die Wärmeleitfähigkeit ist gleich Energiestromdichte durch Temperaturgradient [math]\lambda = \frac {j_W}{\Delta T / \Delta s} [/math] = 0.065 W/m² / 0.03°C/m = 2.17 W/(m K).
In einer groben Vereinfachung verteilen wir die radioaktiven Wärmequellen auf eine sehr dünne Fläche in der Mitte der Erdkruste (15 km unter der Erdoberfläche). Dann fliesst durch den äusseren Teil der Erdkruste auf einer Länge von 15 km die gesamte Energiestromdichte von 0.065 W/m² und durch den inneren Teil auf einer Länge von ebenfalls 15 km eine Energiestromdichte von 0.0195 W/m² (30% der totalen Energiestromdichte), was für die ganze Erdkruste eine totale Temperaturdifferenz von [math]\Delta T = \Delta T_1 + \Delta T_2 = \frac{1}{\lambda}\left( j_{W1} \Delta s_1 + j_{W2} \Delta s_2 \right)[/math] = 449 K + 135 K = 584 K ergibt. Nimmt man eine Oberflächentemperatur von gegen 300 K an, ergibt sich für die Oberfläche des Erdmantels eine Temperatur von ca. 900 K oder etwa 600°C.
Durch den Erdmantel fliesst ein Energiestrom von 10¹³ W bei einer Temperaturdifferenz von 3900 K. Der mittlere Wärmeleitwert des Erdmantels beträgt demnach 10¹³ W / 3900 K = 2.6 10⁹ W/K. Um die mittlere Leitfähigkeit des Erdmantels zu berechnen, können nun verschiedene Modellannahmen getroffen werden. Im ersten Modell nimmt man als Querschnitt einmal die Aussenfläche und einmal die Innenfläche des Erdmantels und mittelt danach die beiden Leitfähigkeiten. Im zweiten Modell rechnet man mit dem mittleren Querschnitt des Erdmantels, modelliert den Erdmantel aber immer noch als prismatischen Körper. Im dritten Modell setzt man die geometrische exakte Formel für eine homogene Kugelschale an.

1. Modell: [math]\lambda = \frac {G_W \Delta s}{A}[/math] = 15 W/(m K) oder 52.6 W/(m K); λ = 33.8 W/(m K)

2. Modell: [math]\lambda = \frac {G_W \Delta s}{A_m}[/math] = 25.5 W/(m K)

3. Modell: [math]\lambda = \frac {G_W \Delta r}{4 \pi r_a r_i}[/math] = 28.1 W/(m K).

Aufgabe