Lösung zu Impuls und Flüssigkeitsbild
Aufgabe 1
Ip_vs_t_-_Fluessigkeitsbild.png
Grössen mit einem [math]\displaystyle{ ' }[/math] (z.B. [math]\displaystyle{ \Delta p_1' }[/math]) beziehen sich auf die erste Stossphase, Grössen mit [math]\displaystyle{ '' }[/math] beziehen sich auf die zweite Stossphase.
Aufgabe2
Der Impulsinhalt des ersten Wagens wird
[math]\displaystyle{ p_1=m_1 v_1=60\cdot 10^3 kg \cdot 5~m/s=3\cdot 10^5~Ns }[/math],
und da der zweite Wagen stillsteht wird [math]\displaystyle{ p_2=0 }[/math].
Beide Wagen zusammen speichern den Impuls
[math]\displaystyle{ p_{ges}=p_1+p_2=3\cdot 10^5 Ns + 0 = 3\cdot 10^5 Ns }[/math]
und haben die Gesamtmasse
[math]\displaystyle{ m_{ges}=m_1+m_2=100~t }[/math].
Die gemeinsame Geschwindigkeit wird
[math]\displaystyle{ v_g=\frac{p_{ges}}{m_{ges}}=\frac{3\cdot 10^5 Ns}{100\cdot 10^3 kg}=3~m/s }[/math].
Aufgabe 3
In der ersten Stossphase gibt Wagen ein den Impuls
[math]\displaystyle{ \Delta p\prime=I_{p,max}\Delta t' }[/math]
an den zweiten Wagen ab. Aus dem Flüssigkeitsbild ergibt sich für
[math]\displaystyle{ \Delta p\prime=\Delta v\cdot m_1=(v_1-v_g)m_1 }[/math].
Setzt man diese beiden Gleichungen einander gleich, ergibt sich für
[math]\displaystyle{ \Delta t'=\frac{(v_1-v_g)m_1}{I_{p,max}}=\frac{2~m\cdot 6\cdot 10^4 kg~s^2}{s~12\cdot 10^5 kg~m}=0.1~s }[/math].
Aufgabe 4
Aus
[math]\displaystyle{ I_{p,max}=F=m\cdot a }[/math]
folgt
[math]\displaystyle{ a_1=\frac{I_{p,max}}{m_1}=\frac{12\cdot 10^5~N}{60\cdot 10^3~kg}=20~m/s^2 }[/math] (Wagen wird abgebremst, also ist [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] eigentlich negativ da [math]\displaystyle{ I_{p,max} }[/math] in die negative Bezugsrichtung fliesst),
und analog dazu wird [math]\displaystyle{ a_2=30~m/s^2 }[/math].
Aufgabe 5
In der zweiten Stossphase gibt Wagen 1 den Impuls
[math]\displaystyle{ \Delta p''=1/2\cdot I_{p,max}\cdot \Delta t'=0.5\cdot 1200~kN\cdot 0.1~s=60~kNs }[/math]
ab. Der erste Wagen enthält daher noch
[math]\displaystyle{ p_1''=p_1-\Delta p_1'-\Delta p_1''=3\cdot 10^5~Ns-1.2\cdot 10^5~Ns-0.6\cdot 10^5~Ns=1.2\cdot 10^5~Ns }[/math].
Daraus folgt
[math]\displaystyle{ v_1''=\frac{p_1''}{m_1}=\frac{1.2\cdot 10^5~Ns}{6\cdot 10^4~kg}=2~m/s }[/math].
Analog dazu wird
[math]\displaystyle{ p_2''=0+\Delta p_1'+\Delta p_1''=1.8\cdot 10^5~Ns }[/math]
und
[math]\displaystyle{ v_2''=p_2''/m_2=4.5~m/s }[/math].
Aufgabe 6
Aus [math]\displaystyle{ s=\frac{a}{2}t^2 }[/math] kann der Maximalhub eines Puffers berechnet werden. Zu beachten ist der Wert für [math]\displaystyle{ a }[/math]: [math]\displaystyle{ a_1, a_2 }[/math] sind auf einen externen Beobachter bezogen, und zur Berechnung des Maximalhubs ist die relative Beschleunigung zwischen den Wagen ausschlaggebend. Daher wird [math]\displaystyle{ a=a_1+a_2 }[/math], und der Maximalhub eines Puffers
[math]\displaystyle{ s=\frac{1}{2} \frac{a_1+a_2}{2}\Delta t'^2=\frac{1}{2} \frac{(20+30)m}{s~2} 0.1^2 s^2=0.125~m }[/math].
Aufgabe 7
Zur Abschätzung des Hubes beim Ausfahren der Puffer hilft das [math]\displaystyle{ v(t) }[/math] Diagramm.
Die Geschwindigkeiten [math]\displaystyle{ v_g, v_1'', v_2'' }[/math] sind bekannt. Der Verlauf der Geschwindigkeiten in der zweiten Stossphase werden nicht linear sein, sondern quadratisch. Die Fläche unter der [math]\displaystyle{ v(t) }[/math] Kurve entspricht dem Hub. Nähert man die Fläche mit zwei Dreiecken an, ergibt sich für den Hub beim Ausfahren eines Puffers
[math]\displaystyle{ s=\frac{1}{2}\left [\frac{1}{2}\Delta t''\cdot (v_2''-v_g) + \frac{1}{2}\Delta t''\cdot (v_g-v_1'')\right ]=\frac{1}{4}\cdot 0.1\cdot(1.5+1)=0.0625~m }[/math].
Die exakte Lösung [math]\displaystyle{ (s=0.083~m) }[/math] kann z.B. mit diesem Berkeley-Madonna Modell berechnet werden.
Aufgabe 8
In der ersten Stossphase nehmen die Puffer
[math]\displaystyle{ W_{ges}=P(F)\cdot \Delta t' }[/math]
auf. Mit
[math]\displaystyle{ P(F)=I_p\cdot \Delta v }[/math]
folgt
[math]\displaystyle{ W_{ges}=I_{p,max}\cdot \Delta v \cdot \Delta t' }[/math].
Nachdem sich [math]\displaystyle{ \Delta v }[/math] während des Stosses ändert, muss die mittlere Geschwindigkeitsdifferenz verwendet werden:
[math]\displaystyle{ \Delta \bar{v}=\frac{\Delta v_{Anfang}+\Delta v_{Ende}}{2}=\frac{(v_1-v_2)+0}{2}=\frac{5}{2}~\frac{m}{s} }[/math].
Daraus folgt für die Energieaufnahme eines Puffers
[math]\displaystyle{ W'=\frac{1}{4}W_{ges}=\frac{1}{4}12\cdot 10^5~N\cdot2.5~\frac{m}{s}\cdot 0.1~s=75~kJ }[/math].
In der zweiten Stossphase ändert sich auch der Impulsstrom, und die von einem Puffer abgegebene Energie wird
[math]\displaystyle{ W''=\frac{1}{4}\bar{I_p}\cdot \Delta \bar{v}\cdot \Delta t' }[/math].
Mit
[math]\displaystyle{ \Delta \bar{v}=\frac{0+(v_2''-v_1'')}{2}=\frac{4.5-2}{2}\frac{m}{s}=1.25~m/s }[/math]
und
[math]\displaystyle{ \bar{I_p}=\frac{1}{2}I_{p,max} }[/math]
folgt
[math]\displaystyle{ W''=\frac{1}{4}\frac{12\cdot 10^5~N}{2}\cdot 1.25 \frac{m}{s}\cdot 0.1~s=18.75~kJ }[/math].