Lösung zu Kinematik des Bugrades

Aus SystemPhysik
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  1. Die Achse des Bugrades hat zum fraglichen Zeitpunkt eine Geschwindigkeit von 40 m/s. Weil sich das Rad mit einer Winkelgeschwindigkeit von 20.9 rad/s dreht, bewegt sich der unterste Teil relativ zur Achse mit - 12.6 m/s, also mit 27.4 m/s vorwärts. Das Rad rollt also nicht, sondern dreht sich noch zu langsam und rutscht deshalb auf der Piste.
  2. Der oberste Teil des Rades ist um 12.6 m/s schneller als die Achse und hat eine Geschwindigkeit von 52.6 m/s (189 km/h).
  3. Die Beschleunigung des untersten Punktes unterscheidet sich von der Beschleunigung der Achse aA (2 m/s2, nach hinten) um eine Tangentialbeschleunigung ([math]a_t = \alpha r[/math] = 5 rad/s2 * 0.6 m = 3 m/s2, ebenfalls nach hinten) und eine nach oben gerichtete Normalbeschleunigung ([math]a_n = \omega^2 r[/math] = (20.9 rad/s)2 * 0.6 m = 263 m/s2). Demnach zeigt die Beschleunigung des untersten Teils des Rades fast senkrecht nach oben und hat einen Betrag von 263 m/s2. Die Horizontalkomponente at + aA = - 3 m/s2 - 2 m/s2 = - 5 m/s2 hat praktisch keinen Einfluss auf den Betrag der Beschleunigung.
  4. Auf der Vorderseite bewegen sich die Teile nach unten, hinten nach oben. Die Geschwindigkeit setzt sich aus der Geschwindigkeit der Achse von 40 m/s und der normal dazu weisenden Relativgeschwindigkeit von 12.6 m/s zusammen. Die Geschwindigkeit hat demnach einen Betrag von 41.9 m/s (Wurzel aus der Summe der Quadrate). Im vordersten Teil des Rades zeigt die Normalbeschleunigung von 263 m/s2 nach hinten, im hintersten Teil nach vorne. Die Beschleunigung dieser Radpunkte setzt sich zusammen aus 2 horizontalen (Normalbeschl. aNormal und Achsenbeschl. aAchse) und einer vertikalen (Tangentialbeschl. aTang) Komponente. Weil die Tangentialbeschleunigung von 3 m/s2 viel kleiner als die Normalbeschleunigung ist, wird ihr Beitrag beim Quadrieren noch kleiner und kann deshalb vernachlässigt werden. Folglich erhält man die Beschleunigung des hintersten Radpunktes [math]a_{hinten} = a_{Normal} + a_{Achse}[/math] = 263 m/s2 - 2 m/s2 = 261 m/s2 und des vordersten Radpunktes gleich [math]a_{vorne} = - a_{Normal} + a_{Achse}[/math] = -263 m/s2 - 2 m/s2 = -265 m/s2.

Die Geschwindigkeit eines Punktes auf einem rotierenden Körper kann mit Hilfe der "kinematischen Verschiebungsformel"

[math]\vec v_B = \vec v_A + \vec \omega \times \vec s_{AB}[/math]

berechnet werden, falls die Geschwindigkeit vA und die Winkelgeschwindigkeit ω bekannt sind und sAB als Vektor von Punkt A nach B zeigt. Die Winkelgeschwindigkeit ist auf dem ganzen rotierenden Körper konstant, weil sich jede Linie zu jedem Zeitpunkt mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit dreht.

Normal und Tangentialbeschleunigung
Die Beschleunigung lässt sich mit Hilfe eines Überlagerungsprinzips finden. Betrachtet man das Rad vom Flugzeug aus, läuft jeder Punkt des Rades auf einer Kreisbahn um. Der Punkt hat somit eine Normalbeschleunigung und eine Tangentialbeschleunigung. Die Beträge dieser beiden Grössen berechnen sich wie folgt
Betrag der Normalbeschleunigung [math]a_n = \omega^2 r[/math]
Betrag der Tangentialbeschleunigung [math]a_t = \dot \omega r[/math]

Die Beschleunigung eines Punktes auf dem Rad ist somit für einen Beobachter auf der Piste gleich der Vektorsumme aus Beschleunigung des Flugzeuges plus Normalbeschleunigung plus Tangentialbeschleunigung. In der nebenstehend abgebildeten Skizze, die nur die Normal- und die Tangentialbeschleunigung zeigt, bewegt sich das Flugzeug nach rechts mit einer Beschleunigung nach links.

Aufgabe