Lösung zu Klotz auf schiefer Ebene

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Aufgaben zur schiefen Ebene muss fast jeder Mittelschüler irgend einmal lösen. Doch wozu? Was lernt er dabei? Hat man die vielen fehlerhaften Lösungen in den gängigen Formelbüchern vor Augen, kann man nur hoffen, dass dieses Paradepferd aus Ötzis Tagebuch bald aus den Schulstuben verschwinden wird. Die Schülerinnen und Schüler haben das Recht auf eine zeitgemässe Darstellung der Naturgesetze.

Lösung zu Frage 1

Kräfte und ihre Komponenten
Auf den Klotz wirken nur das Gravitationsfeld und die schiefe Ebene ein. Wählt man die z-Achse gegen unten, fliesst über das Gravitationsfeld z-Impuls in den Klotz hinein. Um den Klotz am Fallen zu hindern, muss die schiefe Ebene den Impuls augenblicklich abführen. Die Stärke des gravitativen Zuflusses nennt man Gewichtskraft, die Stärke des abfliessenden Impulsstromes heisst Unterlagskraft. Wählt man die x-Achse parallel und die y-Achse normal zur Ebene, können sowohl die Gewichts- als auch die Unterlagskraft in je zwei Komponenten zerlegt werden. Die Komponenten der Unterlagskraft heissen Normalkraft und Haftreibungskraft. Die eine Komponente der Gewichtskraft nennt man oft Hangabtrieb. Dass die andere Komponente der Gewichtskraft im deutschen Sprachraum ebenfalls Normkraft genannt wird, zeigt augenfällig, wie stümperhaft Mechanik an den Schulen unterrichtet wird. Wie kann man die eine Komponente der Unterlagskraft, die Stärke eines Impulsstromes (Oberflächenkraft), mit der einen Komponente der Gewichtskraft, der Stärke einer Impulsquelle (Volumenkraft) verwechseln? Wer einmal begriffen hat, dass eine Kraft entweder die Stärke eines Impulsstromes bezüglich eines Körpers oder die Stärke der gravitativen Quelle im Körper beschreibt, kann sich ob so viel Unverstand nur wundern. Da sind die Ingenieure mit ihrem Freikörperbild den Physiklehrern weit überlegen.

Lösung zu Frage 2

Jede Kraft lässt sich zu einer Wechselwirkung ergänzen, indem man den Partner einbezieht:

  • Die Erde zieht den Klotz mit der Gewichtskraft nach unten. Folglich zieht der Klotz die Erde mit der entgegengesetzt gleichen Kraft nach oben.
  • Die schiefe Ebene drückt mit der Unterlagskraft den Klotz nach oben und der Klotz drückt mit der entgegengesetzt gleichen Kraft die schiefer Ebene nach unten.

Das Wechselwirkungsprinzip enthält nur die triviale Aussage, wonach ein Impulsstrom von den beiden beteiligten Körpern aus gesehen die entgegengesetzt gleiche Stärke aufweist.

Lösung zu Frage 3

Die Haftreibungszahl beschreibt das Verhältnis von maximal möglicher Haftreibungskraft zur Normalkraft. Weil die Haftreibungskraft ihre Grenze erreicht hat, sobald der Klotz zu rutschen anfängt, kann die Haftreibungszahl aus der Analyse des Gleichgewichts im Grenzfall gewonnen werden

x-Richtung: [math]F_G\cos\varphi-F_{HRmax}=0[/math]
y-Richtung: [math]F_N-F_G\sin\varphi=0[/math]
Materialgesetz: [math]F_{HRmax}=\mu_H F_N[/math]

Die Lösung dieses Gleichungssystems liefert die Haftreibungszahl als Funktion des Grenzwinkels

[math]\mu_H=\tan \varphi[/math]

Für einen Grenzwinkel von 35° hat die Haftreibungszahl einen Wert von 0.7.

Lösung zu Frage 4

Weil sich der Körper danach in x-Richtung in Bewegung setzt, speichert er x-Impuls. Die Bilanzgleichungen für die beiden Impulskomponenten sowie das modifizierte Reibungsgesetz lauten dann

x-Richtung: [math]F_G\cos\varphi-F_{HRmax}=\dot p_x=ma[/math]
y-Richtung: [math]F_N-F_G\sin\varphi=\dot p_y=0[/math]
Materialgesetz: [math]F_R=\mu F_N[/math]

Dieses Gleichungssystem liefert für die Beschleunigung in x-Richtung einen Wert von

[math]a = g(\sin \varphi-\mu\cos\varphi)[/math] = 0.8 m/s2.

Lösung zu Frage 5

Bewegt sich die Körper nach oben, wirkt die Gleitreibung nach unten. Deshalb muss das Vorzeichen vor der Gleitreibung geändert werden, was den Wert der Beschleunigung wesentlich verändert

[math]a=g(\sin\varphi+\mu\cos\varphi)[/math] = 10.5 m/s2.

Bemerkung

Was soll das?

Als abschreckendes Beispiel sei hier noch eine Skizze aus dem Internet beigefügt:

  • Die Normalkomponente der Gewichtskraft wird hier als Normalkraft bezeichnet. Die Gewichtskraft ist aber eine Volumenkraft (Impulsquelle) und die Normalkraft eine Komponente einer Flächenkraft (Impulsstrom). Nur ist den einfachen, nichts sagenden Beispielen aus der Schule sind die Normalkomponente der Gewichtskraft und die Normalkraft aufgrund der Gleichgewichtsbedingung gleich gross. Sobald ein komplexerer Fall vorliegt (weitere Kräfte oder gekrümmte Bahn), ist die Normalkraft nicht mehr gleich der Normalkomponente der Gewichtskraft. Dann kann als Folge dieser fehlerhaften Definition nicht einmal das Gleitreibungsgesetz korrekt angewendet werden.
  • In der Skizze sind nur die Gewichtskraft und ihre beiden Komponenten eingezeichnet. Die Unterlagskraft mit den beiden Komponenten Normalkraft und Haftreibungskraft fehlen. Dabei ist gerade die Haftreibungskraft, die in diesem Fall nicht entgegengesetzt gleich gross ist wie die "Hangabtriebskraft" (Parallelkomponente der Gewichtskraft), für das Rollen auf der schiefen Ebene verantwortlich.


Aufgabe