Lösung zu Kreisende Metallkugel

Aus SystemPhysik
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Diese Aufgabe lässt sich von zwei Bezugssystemen aus lösen, vom Laborsystem oder vom rotierenden System aus. Ein Körper auf einer Kreisbahn wird gegen die Kreismitte hin beschleunigt. Dabei ändert er sowohl seinen x- als auch seinen y-Impulsinhalt harmonisch (sinusartig). Im mitrotierenden Bezugsystem ist der Körper nicht beschleunigt und sein Impulsinhalt bleibt konstant gleich Null. Um das Gleichgewicht zu erklären muss man im rotierenden System eine gravitationsähnliche Scheinkraft, Zentrifugalkraft genannt, einführen. Der Wechsel ins rotierende Bezugssystem bringt hier aber keine Vorteile. Deshalb sollte man diese Art von Aufgaben immer von einem nicht rotierenden System aus lösen.

  1. Auf die Kugel wirken die beiden Drähte (Kraft je in Drahtrichtung) sowie die Gewichts- oder Gravitationskraft ein. Wer hier eine Zentrifugalkraft einführt, muss darauf hinweisen, dass der Beobachter mitrotiert und der Körper folglich nicht beschleunigt ist.
  2. Wir zerlegen zuerst die Kraft FD1 im schiefen Draht in eine vertikale und eine horizontale Komponente. Diese vertikale Komponente und die Gewichtskraft halten die Kugel in z-Richtung im Gleichgewicht und sind deshalb betragsmässig gleich gross. Folglich gilt [math]F_{D1}\sin 60^\circ=F_G[/math] oder [math]F_{D1}=\frac{mg}{\sin 60^\circ}=\frac{2 kg \cdot 9.81 m/s^2}{\sin 60^\circ}[/math] = 22.7 N.
  3. Die resultierende Kraft auf die Metallkugel zeigt radial gegen die Achse. Der horizontal gerichtete Draht und die Horizontalkomponente des schief nach oben ziehenden Drahts erzeugen die Beschleunigung. Da beide Drähte gleich stark gespannt sind, gilt [math] F_{D2} + F_{D1}\cos 60^\circ = F_{D1} (1 + \cos 60^\circ) = ma_n = m\omega^2r = m\frac{4\pi^2r}{T^2}[/math]. Der kurze Draht, der dem Kreisradius entspricht, ist 1.8 m * cos(60°) = 0.9 m. Aus dieser Gleichung berechnet sich die Umlaufzeit auf [math] 2 \pi\sqrt{\frac {2 kg \cdot 0.9 m}{22.7 N \cdot (1 + \cos 60^\circ)}}[/math] = 1.44 s. Die bei einer Kreisbewegung wirkende, resultierende Kraft wird oft Zentripetalkraft genannt. Auf den Begriff Zentripetalkraft sollte man auf jedem Fall verzichten, weil die resultierende Kraft nicht extra mit einem zweiten Namen zu bezeichnen ist und der Begriff Zentripetal nur Verwirrung stiftet.
  4. Während der Kreisbewegung ändern sich die Ströme der x- und y-Impulse dauernd. Deshalb beantworten wir die Frage für einen einzigen Zeitpunkt. Dafür wählen wir den Moment, der in der Skizze gezeichnet ist. Hier fliesst der x-Impuls aus der Kugel über beide Drähte weg. Im kurzen Draht strömt diese Impulskomponente mit einer Stärke von 22.7 N aus der Kugel weg. Im längeren, schief zur Achse stehenden Draht fliesst der x-Impuls mit halber Stärke (cos(60°) = 0.5), also mit 11.3 N, nach links oben weg. Dieser Wert entspricht der Horizontalkomponente FD1 * cos(60°) der zugehörigen Kraft auf die Kugel.

Aufgabe