Lösungen zu Fragen zum Massenmittelpunkt

Aus SystemPhysik
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Die Wirkung des homogenen Gravitationsfeldes bezüglich Translation (Austausch von Impuls) und Rotation (Austausch von Drehimpuls) kann mit Hilfe einer Einzelkraft, der Gewichtskraft, beschrieben werden, die im Massenmittelpunkt des Körpers angreift. Deshalb nennt man den Massenmittelpunkt oft auch Schwerpunkt.

  1. Der Massenmittelpunkt beschreibt die Lage des gewichteten arithmetischen Mittels der gesamten Massenverteilung: [math]\vec s_{MMP} = \frac {\sum_i m_i \vec s_i}{\sum_i m_i}[/math]
  2. Man denkt sich die Masse jedes Teilkörpers im eigenen Massenmittelpunkt konzentriert und wendet die oben aufgeführte Formel an.
  3. Man denkt sich den Körper in sehr kleine Elemente zerlegt und wendet die oben aufgeführte Formel an. Vollzieht man den Grenzübergang zum reinen Kontinuum, lautet die Formel: [math]\vec s_{MMP} = \frac {\int \rho(\vec s) \vec s dV}{\int \rho(\vec s)dV}[/math]
  4. Die Geschwindigkeit des MMP ist gleich dem Quotienten aus Impuls und Masse: [math]\vec v_{MMP} = \frac {\vec p}{m}[/math]. Diese Beziehung gehört zu den grundlegensten Gesetzen der Physik.
  5. Kombiniert man die Impulsbilanz bezüglich eines festen Körpers (Summe über alle Kräfte gleich Änderungsrate des Impulsinhaltes) mit der oben erwähnten Berechnung der Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes, erhält man das Grundgesetz der Mechanik, wonach die Summe über alle Kräfte gleich Masse mal Beschleunigung des Massenmittelpunktes ist. Weil die beiden ersten Gesetze auf das System Auto angewendet werden dürfen, gilt das Grundgesetz auch bei sich stark verformenden Körpern. Nur bleibt der Massenmittelpunkt bezüglich des Autos während des Aufpralls nicht fest. Folglich ist die Aussage, wonach die Summe über alle Kräfte gleich Masse mal Beschleunigung des Schwerpunktes ist, nicht sehr informativ.
  6. Dividiert man die Kraft durch die Masse, erhält man den Beitrag, den diese Kraft zur Beschleunigung des Massenmittelpunktes leistet. Dabei spielt es keine Rolle, wo die Kraft angreift und ob mit dieser Kraft noch ein Drehmoment verbunden ist.

Aufgabe